Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга

Наука и жизньНаука

Измеряя круг

Наталья Карпушина

Архимед — геометр. Старинная гравюра, 1740 год.

Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга, — самая знаменитая задача на построение из наследия древнегреческих математиков. Многих в ней привлекала простая и понятная формулировка, невольно порождавшая иллюзию элементарности решения. Но кто бы мог подумать, что его поиски продлятся без малого 2500 лет! Задача оказалась «крепким орешком» и для учёных, и для многочисленных любителей геометрии.

Непокорная задача

Непреодолимые трудности, с которыми сталкивался каждый, кто брался квадрировать круг, только добавляли популярности этой задаче. Свою роль сыграло также честолюбие квадратурщиков, их желание войти в историю или хотя бы получить заслуженную награду. Известность задачи росла вместе с увеличением числа неудачных попыток отыскать её решение.

В древности квадратура круга приобрела популярность стараниями самих греков. В конце V века до н. э. «отец комедии» Аристофан даже шутил на эту тему. В его пьесе «Птицы» землемер Метон, известный в то время в Афинах астроном, геометр и инженер, орудуя чертёжными инструментами, предлагает афинянину Писфетеру распланировать основанный им между небом и землёй птичий город:

Здесь линейку я
Изогнутую приложу и циркулем
Отмерю расстоянье...
Затем прямую, тоже по линеечке,
Я проведу,
чтоб круг квадратом сделался.
Здесь, в центре, будет рынок.
К рынку улицы
Пойдут прямые...

«Ты Фалес поистине! — восклицает иронично Писфетер и гонит прочь Метона: — Ступай-ка ты отсюда по-хорошему... Здесь принято решение — бить мошенников».

Сдаётся мне, проницательный герой Аристофана выражает мнение тех математиков своего времени, которые усомнились в разрешимости квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, как того требовало условие задачи. А предложение Метона изогнуть линейку — намёк на попытки некоторых геометров отыскать окольный путь.

Архимед с помощью метода вписанных и описанных многоугольников показал, что в любой окружности её длина L превышает утроенный диаметр D менее чем на 1/7 его часть, но более чем на 10/71. Для отношения L к D он выбрал приближение 22/7, названное позже архимедовым числом. Или в современных обозначениях: 3,14084... < π < 3,14285... и π ≈ 3,14. Буквой π эту константу первым обозначил в 1706 году английский математик Уильям Джонс. Сумей геометры получить отрезок длиной π, они легко построили бы треугольник с катетами R и 2πR, а затем и квадрат площадью πR2

Обманчивая простота

История квадратуры круга полна заблуждений и ошибок. Много веков эта обманчиво простая задача будоражила умы европейских учёных и не давала покоя малосведущим любителям. Всякая вспышка интереса к ней порождала «эпидемию квадратуры круга», как метко окрестил это явление один историк математики. Первой жертвой задачи в V веке до н. э. стал ионийский философ и математик Анаксагор, который, по словам античного писателя Плутарха, томясь в темнице, занимался геометрией и «начертал квадратуру круга». Если некое построение и было найдено, то всего лишь приближённое.

А вот как рассуждал философ-софист Антифон, современник Анаксагора. Впишем квадрат в круг и станем последовательно удваивать число его сторон. Когда оно будет достаточно велико, а сами стороны ничтожно малы, многоугольник совпадёт с кругом. Тем самым площади фигур уравняются. Для всякого правильного многоугольника можно построить равновеликий ему квадрат, значит, такое же построение возможно для круга.

Решение Антифона, конечно, не выдержало критики. А вот сама идея неограниченно приблизиться к кругу с помощью последовательности вписанных многоугольников оказалась небесполезной. Она легла в основу метода исчерпывания (применялся при вычислении площадей и объёмов), который разработал в IV веке до н. э. древнегреческий учёный Евдокс Книдский. Кстати, именно его ученик Динострат сумел точно квадрировать круг; правда, дело не обошлось без механической, то есть определённой не геометрически, а с помощью движения, кривой. Но подобные ухищрения геометров не устраивали, поскольку нарушали главное требование: чертить можно только прямые и окружности!

Древние греки рассмотрели также задачу о спрямлении окружности, идентичную квадратуре круга. В ней нужно построить отрезок, длина которого равна длине данной окружности. Впрочем, близкое родство двух этих задач математики выявили не сразу. Интересно, что ни та ни другая задача не упоминаются в «Началах» Евклида, где впервые была изложена общая теория геометрических построений и много внимания уделено свойствам окружности и круга.

В III веке до н. э. гениальный учёный и инженер Архимед Сиракузский строго доказал, что круг равновелик прямоугольному тре-угольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — спрямлённой окружности, границе круга. Тем самым квадратура круга радиуса R свелась к построению отрезка длиной 2πR. Сам Архимед, кстати, мог проделать его с помощью исследованной им спирали. Если удастся построить с помощью циркуля и линейки отрезок длиной π ≈ 22/7, задача будет решена. Прошло более 2000 лет, прежде чем выяснилось, что это невозможно.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Цивилизация Цивилизация

Они одними из первых освоили инженерию, завели армию, монархию и дипломатию

Вокруг света
Любовь, сбивающая с ног: 10 культовых фильмов про свадьбы Любовь, сбивающая с ног: 10 культовых фильмов про свадьбы

Фильмы о свадьбе, которые заставят вас смеяться и плакать

Правила жизни
Финалистки конкурса «Девушка года Playboy-2018» Финалистки конкурса «Девушка года Playboy-2018»

Финалистки конкурса «Девушка года Playboy-2018»

Playboy
Утерянный 5000 лет назад: ученые воскресили древнейший в мире синтетический краситель. Зачем он нужен? Утерянный 5000 лет назад: ученые воскресили древнейший в мире синтетический краситель. Зачем он нужен?

Откуда взялся яркий, насыщенный синий цвет в Древнем Египте

Inc.
Вселенная известная и неизвестная Вселенная известная и неизвестная

Некоторые вопросы об устройстве Вселенной уже имеют ответы

Наука и жизнь
TESS отыскал экзогиганта у очень маломассивной звезды TESS отыскал экзогиганта у очень маломассивной звезды

TESS вновь обнаружил экзогиганта у маломассивной звезды

N+1
«Зелёные русалки» наших вод «Зелёные русалки» наших вод

Кувшинка, словно сказочная наяда, являет себя миру, удивляя красотой

Наука и жизнь
Почему машина заводится и глохнет и что с этим делать Почему машина заводится и глохнет и что с этим делать

Что делать, если машина глохнет: причины, диагностика, куда смотреть

РБК
Борьба с «врагами народа» Борьба с «врагами народа»

От древнеримских проскрипций до наших дней

Наука и жизнь
Самый секретный агент Самый секретный агент

Из чего сделан мир Джеймса Бонда Яна Флеминга

Weekend
Поэт в жизни или Счастливый неудачник… Поэт в жизни или Счастливый неудачник…

О литературном герое Илье Ильиче Обломове

Наука и жизнь
Шоураннеры «Фишера»: Человек любит смотреть в кино на что-то ужасное Шоураннеры «Фишера»: Человек любит смотреть в кино на что-то ужасное

Создатели «Фишера» — о том, как луна-парк стал главным референсом мира сериала

Ведомости
Чай по-менделеевски Чай по-менделеевски

Кулинарные истории

Наука и жизнь
Компьютерное зрение: когда роботы перестали тыкать пальцем в небо? Компьютерное зрение: когда роботы перестали тыкать пальцем в небо?

Зачем нужно компьютерное зрение и какие задачи оно решает в разных сферах

Наука и техника
Перед большим полётом Перед большим полётом

Совсем недавно орнитолог Григорий Ерёмкин пригласил меня в гости к журавлям

Наука и жизнь
Активный сезон Активный сезон

Самые классные и полезные летние развлечения

Лиза
Достучаться до небес Достучаться до небес

Заключенный концлагеря угоняет с их секретной военной базы бомбардировщик

Вокруг света
«Речная королева Алтая»: как Евдокия Мельникова управляла судоходным делом в XIX веке «Речная королева Алтая»: как Евдокия Мельникова управляла судоходным делом в XIX веке

Как Евдокия Мельникова стала ориентиром для многих судовладельцев XIX века

Forbes
Фуху на островах южных морей Фуху на островах южных морей

Любой житель Британских островов скажет, что бокс придумали англичане

Вокруг света
Самоубийство семьи бургомистра Самоубийство семьи бургомистра

«Кризис закончен. Орудия затихли. Кто знал, как нам стоит поступить?»

Дилетант
Новая «Арктика» Новая «Арктика»

Атомоходы ЛК-60Я заменят ледоколы прошлых поколений

Популярная механика
Жаркое лето в Сибири Жаркое лето в Сибири

Природный отдых у города: почему стоит поехать в Новосибирск летом

Отдых в России
Три бизнес-ошибки основателя сервиса доставки «Ниндзя Гудс» Три бизнес-ошибки основателя сервиса доставки «Ниндзя Гудс»

Основатель «Ниндзя Гудс» — про ошибки, которые могли погубить его стартап

Inc.
Больше чем репост: как бизнесу делать кросс-промо, которое работает Больше чем репост: как бизнесу делать кросс-промо, которое работает

Кросс-промо: как найти хорошего партнера и построить успешную коллаборацию

Inc.
Советский Дэн Сяопин? Советский Дэн Сяопин?

Именно Андропов смог нарисовать траекторию экономических реформ. Так ли это?

Дилетант
Последняя загадка Пушкина Последняя загадка Пушкина

«Пушкин и Погорелое Городище» – тема, вынесенная на периферию пушкинистики

Знание – сила
Воздушная болезнь: что делать, если вас укачивает в самолете Воздушная болезнь: что делать, если вас укачивает в самолете

Что такое воздушная болезнь и как облегчить ее симптомы?

ТехИнсайдер
Екатерина Глухарева: «Банки видят уязвимости бизнеса и помогают их исправлять» Екатерина Глухарева: «Банки видят уязвимости бизнеса и помогают их исправлять»

Директор по рискам «Точка банк» — о видах атак мошенников на малый бизнес

Ведомости
Брелок за $5 тыс.: чему бизнес может научиться у Лабубу Брелок за $5 тыс.: чему бизнес может научиться у Лабубу

Лабубу-тренд: эффект сюрприза или ностальгия?

Inc.
В нескольких минутах от третьей мировой В нескольких минутах от третьей мировой

Сбои в работе СПРН случались, но всегда вовремя вмешивался человеческий фактор

Дилетант
Открыть в приложении