Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга

Наука и жизньНаука

Измеряя круг

Наталья Карпушина

Архимед — геометр. Старинная гравюра, 1740 год.

Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга, — самая знаменитая задача на построение из наследия древнегреческих математиков. Многих в ней привлекала простая и понятная формулировка, невольно порождавшая иллюзию элементарности решения. Но кто бы мог подумать, что его поиски продлятся без малого 2500 лет! Задача оказалась «крепким орешком» и для учёных, и для многочисленных любителей геометрии.

Непокорная задача

Непреодолимые трудности, с которыми сталкивался каждый, кто брался квадрировать круг, только добавляли популярности этой задаче. Свою роль сыграло также честолюбие квадратурщиков, их желание войти в историю или хотя бы получить заслуженную награду. Известность задачи росла вместе с увеличением числа неудачных попыток отыскать её решение.

В древности квадратура круга приобрела популярность стараниями самих греков. В конце V века до н. э. «отец комедии» Аристофан даже шутил на эту тему. В его пьесе «Птицы» землемер Метон, известный в то время в Афинах астроном, геометр и инженер, орудуя чертёжными инструментами, предлагает афинянину Писфетеру распланировать основанный им между небом и землёй птичий город:

Здесь линейку я
Изогнутую приложу и циркулем
Отмерю расстоянье...
Затем прямую, тоже по линеечке,
Я проведу,
чтоб круг квадратом сделался.
Здесь, в центре, будет рынок.
К рынку улицы
Пойдут прямые...

«Ты Фалес поистине! — восклицает иронично Писфетер и гонит прочь Метона: — Ступай-ка ты отсюда по-хорошему... Здесь принято решение — бить мошенников».

Сдаётся мне, проницательный герой Аристофана выражает мнение тех математиков своего времени, которые усомнились в разрешимости квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, как того требовало условие задачи. А предложение Метона изогнуть линейку — намёк на попытки некоторых геометров отыскать окольный путь.

Архимед с помощью метода вписанных и описанных многоугольников показал, что в любой окружности её длина L превышает утроенный диаметр D менее чем на 1/7 его часть, но более чем на 10/71. Для отношения L к D он выбрал приближение 22/7, названное позже архимедовым числом. Или в современных обозначениях: 3,14084... < π < 3,14285... и π ≈ 3,14. Буквой π эту константу первым обозначил в 1706 году английский математик Уильям Джонс. Сумей геометры получить отрезок длиной π, они легко построили бы треугольник с катетами R и 2πR, а затем и квадрат площадью πR2

Обманчивая простота

История квадратуры круга полна заблуждений и ошибок. Много веков эта обманчиво простая задача будоражила умы европейских учёных и не давала покоя малосведущим любителям. Всякая вспышка интереса к ней порождала «эпидемию квадратуры круга», как метко окрестил это явление один историк математики. Первой жертвой задачи в V веке до н. э. стал ионийский философ и математик Анаксагор, который, по словам античного писателя Плутарха, томясь в темнице, занимался геометрией и «начертал квадратуру круга». Если некое построение и было найдено, то всего лишь приближённое.

А вот как рассуждал философ-софист Антифон, современник Анаксагора. Впишем квадрат в круг и станем последовательно удваивать число его сторон. Когда оно будет достаточно велико, а сами стороны ничтожно малы, многоугольник совпадёт с кругом. Тем самым площади фигур уравняются. Для всякого правильного многоугольника можно построить равновеликий ему квадрат, значит, такое же построение возможно для круга.

Решение Антифона, конечно, не выдержало критики. А вот сама идея неограниченно приблизиться к кругу с помощью последовательности вписанных многоугольников оказалась небесполезной. Она легла в основу метода исчерпывания (применялся при вычислении площадей и объёмов), который разработал в IV веке до н. э. древнегреческий учёный Евдокс Книдский. Кстати, именно его ученик Динострат сумел точно квадрировать круг; правда, дело не обошлось без механической, то есть определённой не геометрически, а с помощью движения, кривой. Но подобные ухищрения геометров не устраивали, поскольку нарушали главное требование: чертить можно только прямые и окружности!

Древние греки рассмотрели также задачу о спрямлении окружности, идентичную квадратуре круга. В ней нужно построить отрезок, длина которого равна длине данной окружности. Впрочем, близкое родство двух этих задач математики выявили не сразу. Интересно, что ни та ни другая задача не упоминаются в «Началах» Евклида, где впервые была изложена общая теория геометрических построений и много внимания уделено свойствам окружности и круга.

В III веке до н. э. гениальный учёный и инженер Архимед Сиракузский строго доказал, что круг равновелик прямоугольному тре-угольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — спрямлённой окружности, границе круга. Тем самым квадратура круга радиуса R свелась к построению отрезка длиной 2πR. Сам Архимед, кстати, мог проделать его с помощью исследованной им спирали. Если удастся построить с помощью циркуля и линейки отрезок длиной π ≈ 22/7, задача будет решена. Прошло более 2000 лет, прежде чем выяснилось, что это невозможно.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

9 мифов об Альберте Эйнштейне 9 мифов об Альберте Эйнштейне

Правда и мифы о создателе теории относительности

Вокруг света
Без крыши дороже Без крыши дороже

Стоят ли кабриолеты своих денег

Деньги
Цивилизация Цивилизация

Они одними из первых освоили инженерию, завели армию, монархию и дипломатию

Вокруг света
Все, везде и сразу: почему после отпуска мы чувствуем себя еще более уставшими и что с этим делать Все, везде и сразу: почему после отпуска мы чувствуем себя еще более уставшими и что с этим делать

Как проявляется постотпускная усталость и что помогает вернуться в форму

Правила жизни
Философский камень, или немного sapientia ex cupro Философский камень, или немного sapientia ex cupro

Идеи вечной жизни, молодости и излечения от всех болезней не умерли

Наука и жизнь
Музыка против голода: как фестиваль Live Aid изменил благотворительность и культуру Музыка против голода: как фестиваль Live Aid изменил благотворительность и культуру

Как фестиваль Live Aid стал поворотной точкой для благотворительности в музыке

Forbes
Перед большим полётом Перед большим полётом

Совсем недавно орнитолог Григорий Ерёмкин пригласил меня в гости к журавлям

Наука и жизнь
Летают ли авиалайнеры над Северным полюсом: да, и это стоит сделать хотя бы раз в жизни Летают ли авиалайнеры над Северным полюсом: да, и это стоит сделать хотя бы раз в жизни

Почему летать через Северный полюс до сих пор рискованно

ТехИнсайдер
Поэт в жизни или Счастливый неудачник… Поэт в жизни или Счастливый неудачник…

О литературном герое Илье Ильиче Обломове

Наука и жизнь
Антон Мегердичев: Хотите что-то изменить — так меняйте сейчас Антон Мегердичев: Хотите что-то изменить — так меняйте сейчас

Режиссер Антон Мегердичев — как кино может зомбировать зрителя

Ведомости
«Зелёные русалки» наших вод «Зелёные русалки» наших вод

Кувшинка, словно сказочная наяда, являет себя миру, удивляя красотой

Наука и жизнь
Униженные, оскорбленные и обиженные Униженные, оскорбленные и обиженные

Как писатели задевали близких своими произведениями

Weekend
Чай по-менделеевски Чай по-менделеевски

Кулинарные истории

Наука и жизнь
Пластик, металл, стекло: какая посуда подходит для микроволновки Пластик, металл, стекло: какая посуда подходит для микроволновки

Какая посуда безопасна для микроволновки, а от какой лучше отказаться?

CHIP
Борьба с «врагами народа» Борьба с «врагами народа»

От древнеримских проскрипций до наших дней

Наука и жизнь
Помело: польза, вред, как есть и что приготовить — рецепт шеф-повара Помело: польза, вред, как есть и что приготовить — рецепт шеф-повара

Чем полезно помело и как правильно его есть?

РБК
Жизненная сила Жизненная сила

Теории о формах жизни - от живых камней до плазменных жителей космоса

Вокруг света
Вторую межзвездную комету заподозрили в рекордной старости Вторую межзвездную комету заподозрили в рекордной старости

Какие свойства у открытого межзвездного объекта — кометы 3I/ATLAS

N+1
Бегство наследника Бегство наследника

Алексей Петрович так боялся отца, что в итоге сбежал за границу

Дилетант
Объект, обнаруженный на краю Солнечной системы, бросает тень на существование Девятой планеты Объект, обнаруженный на краю Солнечной системы, бросает тень на существование Девятой планеты

Чем уникален седноид на краю Солнечной системы, получивший прозвище «Аммонит»

Inc.
Михаил Горбачёв: «Лёша, б...!» Михаил Горбачёв: «Лёша, б...!»

Президент Горбачёв не смотрел сериал «Чернобыль», но очень им интересовался

Дилетант
Пляжный гид Пляжный гид

Где и как можно загорать и купаться в городе

Лиза
Стимулы вместо принуждения Стимулы вместо принуждения

Чем биржевая торговля сельхозпродукцией может быть интересна бизнесу

Агроинвестор
Покладистая жена и муж из деревни: как и зачем в Китае рекламируют русских женщин Покладистая жена и муж из деревни: как и зачем в Китае рекламируют русских женщин

Зачем китайцев все чаще стали подталкивать к бракам с иностранками

Forbes
Летний ликбез Летний ликбез

Почему одного SPF нам будет недостаточно

Лиза
Техно реализм Техно реализм

К чему ведут нас гаджеты и как революция в коммуникациях влияет на творчество

Правила жизни
Почему ЕС не растет Почему ЕС не растет

Что провоцирует системный кризис развития Евросоюза

Эксперт
«Бархатный молоток»: как Эстер Петерсон боролась с зарплатным неравенством «Бархатный молоток»: как Эстер Петерсон боролась с зарплатным неравенством

Как Эстер Петерсон стала главной союзницей работающих американок

Forbes
Реки крови и гречишный шоколад: как выигрывать конкурентную борьбу на «алых» рынках Реки крови и гречишный шоколад: как выигрывать конкурентную борьбу на «алых» рынках

Как российская компания может добавить значимых отличий своему ассортименту

Forbes
Какие БАДы работают при депрессии: исследование Какие БАДы работают при депрессии: исследование

Насколько безрецептурные пищевые добавки полезны для облегчения депрессии

ТехИнсайдер
Открыть в приложении