Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга

Наука и жизньНаука

Измеряя круг

Наталья Карпушина

Архимед — геометр. Старинная гравюра, 1740 год.

Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга, — самая знаменитая задача на построение из наследия древнегреческих математиков. Многих в ней привлекала простая и понятная формулировка, невольно порождавшая иллюзию элементарности решения. Но кто бы мог подумать, что его поиски продлятся без малого 2500 лет! Задача оказалась «крепким орешком» и для учёных, и для многочисленных любителей геометрии.

Непокорная задача

Непреодолимые трудности, с которыми сталкивался каждый, кто брался квадрировать круг, только добавляли популярности этой задаче. Свою роль сыграло также честолюбие квадратурщиков, их желание войти в историю или хотя бы получить заслуженную награду. Известность задачи росла вместе с увеличением числа неудачных попыток отыскать её решение.

В древности квадратура круга приобрела популярность стараниями самих греков. В конце V века до н. э. «отец комедии» Аристофан даже шутил на эту тему. В его пьесе «Птицы» землемер Метон, известный в то время в Афинах астроном, геометр и инженер, орудуя чертёжными инструментами, предлагает афинянину Писфетеру распланировать основанный им между небом и землёй птичий город:

Здесь линейку я
Изогнутую приложу и циркулем
Отмерю расстоянье...
Затем прямую, тоже по линеечке,
Я проведу,
чтоб круг квадратом сделался.
Здесь, в центре, будет рынок.
К рынку улицы
Пойдут прямые...

«Ты Фалес поистине! — восклицает иронично Писфетер и гонит прочь Метона: — Ступай-ка ты отсюда по-хорошему... Здесь принято решение — бить мошенников».

Сдаётся мне, проницательный герой Аристофана выражает мнение тех математиков своего времени, которые усомнились в разрешимости квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, как того требовало условие задачи. А предложение Метона изогнуть линейку — намёк на попытки некоторых геометров отыскать окольный путь.

Архимед с помощью метода вписанных и описанных многоугольников показал, что в любой окружности её длина L превышает утроенный диаметр D менее чем на 1/7 его часть, но более чем на 10/71. Для отношения L к D он выбрал приближение 22/7, названное позже архимедовым числом. Или в современных обозначениях: 3,14084... < π < 3,14285... и π ≈ 3,14. Буквой π эту константу первым обозначил в 1706 году английский математик Уильям Джонс. Сумей геометры получить отрезок длиной π, они легко построили бы треугольник с катетами R и 2πR, а затем и квадрат площадью πR2

Обманчивая простота

История квадратуры круга полна заблуждений и ошибок. Много веков эта обманчиво простая задача будоражила умы европейских учёных и не давала покоя малосведущим любителям. Всякая вспышка интереса к ней порождала «эпидемию квадратуры круга», как метко окрестил это явление один историк математики. Первой жертвой задачи в V веке до н. э. стал ионийский философ и математик Анаксагор, который, по словам античного писателя Плутарха, томясь в темнице, занимался геометрией и «начертал квадратуру круга». Если некое построение и было найдено, то всего лишь приближённое.

А вот как рассуждал философ-софист Антифон, современник Анаксагора. Впишем квадрат в круг и станем последовательно удваивать число его сторон. Когда оно будет достаточно велико, а сами стороны ничтожно малы, многоугольник совпадёт с кругом. Тем самым площади фигур уравняются. Для всякого правильного многоугольника можно построить равновеликий ему квадрат, значит, такое же построение возможно для круга.

Решение Антифона, конечно, не выдержало критики. А вот сама идея неограниченно приблизиться к кругу с помощью последовательности вписанных многоугольников оказалась небесполезной. Она легла в основу метода исчерпывания (применялся при вычислении площадей и объёмов), который разработал в IV веке до н. э. древнегреческий учёный Евдокс Книдский. Кстати, именно его ученик Динострат сумел точно квадрировать круг; правда, дело не обошлось без механической, то есть определённой не геометрически, а с помощью движения, кривой. Но подобные ухищрения геометров не устраивали, поскольку нарушали главное требование: чертить можно только прямые и окружности!

Древние греки рассмотрели также задачу о спрямлении окружности, идентичную квадратуре круга. В ней нужно построить отрезок, длина которого равна длине данной окружности. Впрочем, близкое родство двух этих задач математики выявили не сразу. Интересно, что ни та ни другая задача не упоминаются в «Началах» Евклида, где впервые была изложена общая теория геометрических построений и много внимания уделено свойствам окружности и круга.

В III веке до н. э. гениальный учёный и инженер Архимед Сиракузский строго доказал, что круг равновелик прямоугольному тре-угольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — спрямлённой окружности, границе круга. Тем самым квадратура круга радиуса R свелась к построению отрезка длиной 2πR. Сам Архимед, кстати, мог проделать его с помощью исследованной им спирали. Если удастся построить с помощью циркуля и линейки отрезок длиной π ≈ 22/7, задача будет решена. Прошло более 2000 лет, прежде чем выяснилось, что это невозможно.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Лебедь» возвращается «Лебедь» возвращается

Ту-160 сегодня готовится ко второй жизни

Популярная механика
От бобра до банкротства: 1670–2025 От бобра до банкротства: 1670–2025

История самой старой компании Северной Америки

Деньги
Финалистки конкурса «Девушка года Playboy-2018» Финалистки конкурса «Девушка года Playboy-2018»

Финалистки конкурса «Девушка года Playboy-2018»

Playboy
20 легендарных мультфильмов для всех возрастов, которые должен посмотреть каждый хоть раз в жизни 20 легендарных мультфильмов для всех возрастов, которые должен посмотреть каждый хоть раз в жизни

Мультики, которые стоит посмотреть всем вне зависимости от возраста

Правила жизни
Борьба с «врагами народа» Борьба с «врагами народа»

От древнеримских проскрипций до наших дней

Наука и жизнь
Дышать или не дышать: насколько эффективна дорогостоящая ксенонотерапия Дышать или не дышать: насколько эффективна дорогостоящая ксенонотерапия

Ксенонотерапия: что это за метод, безопасен ли он и насколько полезен в лечении?

Forbes
Поэт в жизни или Счастливый неудачник… Поэт в жизни или Счастливый неудачник…

О литературном герое Илье Ильиче Обломове

Наука и жизнь
Виноват не хакер: 4 мифа о кибербезопасности, которые ставят бизнес под удар Виноват не хакер: 4 мифа о кибербезопасности, которые ставят бизнес под удар

Проблема кибербезопасности может крыться не в хакерах, а в сотрудниках

Inc.
Философский камень, или немного sapientia ex cupro Философский камень, или немного sapientia ex cupro

Идеи вечной жизни, молодости и излечения от всех болезней не умерли

Наука и жизнь
ИИ в школе: инструмент или угроза? ИИ в школе: инструмент или угроза?

Внедрение ИИ — неизбежный этап. Какова будущая роль учителя в новой системе?

Монокль
«Зелёные русалки» наших вод «Зелёные русалки» наших вод

Кувшинка, словно сказочная наяда, являет себя миру, удивляя красотой

Наука и жизнь
Завтра наступит сегодня Завтра наступит сегодня

Примеряемся к автомобилям из области фантастики

Moodboard
Фтор: разрушающий или созидающий? Фтор: разрушающий или созидающий?

Написать эту заметку меня побудило желание рассказать об удивительном элементе

Наука и жизнь
Святая обитель Святая обитель

Остров Валаам – место притяжения паломников, историков и археологов

Отдых в России
Чай по-менделеевски Чай по-менделеевски

Кулинарные истории

Наука и жизнь
Ничего личного Ничего личного

Как защититься от хейта в Интернете

Лиза
Пять стадий Египта Пять стадий Египта

Пройдя все стадии принятия Египта, я был вознагражден

Вокруг света
Как скопировать и вставить таблицу в Экселе Как скопировать и вставить таблицу в Экселе

Как скопировать таблицу в Эксель так, чтобы все осталось на своих местах

CHIP
Земля переезжает Земля переезжает

Когда Солнце начнет затухать, корабль «Земля» уже прибудет к новой звезде

Популярная механика
Свидание с Россией Свидание с Россией

Губернатор Ярославской области — чем заняться и где остановиться в регионе

RR Люкс.Личности.Бизнес.
Литовцы или литвины? Литовцы или литвины?

Кто в большей степени имеет право считаться наследниками Великого княжества?

Дилетант
Марина Монгуш: «Креативная экономика — это не только про деньги, но и про социальные эффекты» Марина Монгуш: «Креативная экономика — это не только про деньги, но и про социальные эффекты»

Почему креативная экономика становится движущей силой развития России?

ФедералПресс
Гастрономия Гастрономия

Лучшие рестораны — новые и возрождённые

RR Люкс.Личности.Бизнес.
Могут ли добавки с витамином D замедлить старения Могут ли добавки с витамином D замедлить старения

Витамин D — ключ к долголетию?

ТехИнсайдер
«Инк» и «Космос-4» нашли главные страхи бизнесменов при развитии личного бренда «Инк» и «Космос-4» нашли главные страхи бизнесменов при развитии личного бренда

Как внутренние страхи и нехватка времени мешают развивать личный бренд

Inc.
«Я по роду своей профессиональной деятельности всегда говорю про детей…» «Я по роду своей профессиональной деятельности всегда говорю про детей…»

О Русских международных школах и перспективах российского образования за рубежом

Знание – сила
Сцена Сцена

Важнейшие события российской театральной сцены 2025

RR Люкс.Личности.Бизнес.
Когда-то были безделушками, а теперь — сокровища: 5 вещей из СССР, которые сегодня стоят больших денег Когда-то были безделушками, а теперь — сокровища: 5 вещей из СССР, которые сегодня стоят больших денег

Вещи из СССР, которые можно продать и получить за них кругленькую сумму

ТехИнсайдер
Кардиналы визажа Кардиналы визажа

Как менялись мейкап-тенденции в ХХ–ХХI веках

Moodboard
Каждый третий сотрудник хочет работать без звонков и чатов хотя бы один день в неделю Каждый третий сотрудник хочет работать без звонков и чатов хотя бы один день в неделю

Каждый четвертый сотрудник в России устраивает себе «дни тишины»

Inc.
Открыть в приложении