Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга

Наука и жизньНаука

Измеряя круг

Наталья Карпушина

Архимед — геометр. Старинная гравюра, 1740 год.

Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга, — самая знаменитая задача на построение из наследия древнегреческих математиков. Многих в ней привлекала простая и понятная формулировка, невольно порождавшая иллюзию элементарности решения. Но кто бы мог подумать, что его поиски продлятся без малого 2500 лет! Задача оказалась «крепким орешком» и для учёных, и для многочисленных любителей геометрии.

Непокорная задача

Непреодолимые трудности, с которыми сталкивался каждый, кто брался квадрировать круг, только добавляли популярности этой задаче. Свою роль сыграло также честолюбие квадратурщиков, их желание войти в историю или хотя бы получить заслуженную награду. Известность задачи росла вместе с увеличением числа неудачных попыток отыскать её решение.

В древности квадратура круга приобрела популярность стараниями самих греков. В конце V века до н. э. «отец комедии» Аристофан даже шутил на эту тему. В его пьесе «Птицы» землемер Метон, известный в то время в Афинах астроном, геометр и инженер, орудуя чертёжными инструментами, предлагает афинянину Писфетеру распланировать основанный им между небом и землёй птичий город:

Здесь линейку я
Изогнутую приложу и циркулем
Отмерю расстоянье...
Затем прямую, тоже по линеечке,
Я проведу,
чтоб круг квадратом сделался.
Здесь, в центре, будет рынок.
К рынку улицы
Пойдут прямые...

«Ты Фалес поистине! — восклицает иронично Писфетер и гонит прочь Метона: — Ступай-ка ты отсюда по-хорошему... Здесь принято решение — бить мошенников».

Сдаётся мне, проницательный герой Аристофана выражает мнение тех математиков своего времени, которые усомнились в разрешимости квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, как того требовало условие задачи. А предложение Метона изогнуть линейку — намёк на попытки некоторых геометров отыскать окольный путь.

Архимед с помощью метода вписанных и описанных многоугольников показал, что в любой окружности её длина L превышает утроенный диаметр D менее чем на 1/7 его часть, но более чем на 10/71. Для отношения L к D он выбрал приближение 22/7, названное позже архимедовым числом. Или в современных обозначениях: 3,14084... < π < 3,14285... и π ≈ 3,14. Буквой π эту константу первым обозначил в 1706 году английский математик Уильям Джонс. Сумей геометры получить отрезок длиной π, они легко построили бы треугольник с катетами R и 2πR, а затем и квадрат площадью πR2

Обманчивая простота

История квадратуры круга полна заблуждений и ошибок. Много веков эта обманчиво простая задача будоражила умы европейских учёных и не давала покоя малосведущим любителям. Всякая вспышка интереса к ней порождала «эпидемию квадратуры круга», как метко окрестил это явление один историк математики. Первой жертвой задачи в V веке до н. э. стал ионийский философ и математик Анаксагор, который, по словам античного писателя Плутарха, томясь в темнице, занимался геометрией и «начертал квадратуру круга». Если некое построение и было найдено, то всего лишь приближённое.

А вот как рассуждал философ-софист Антифон, современник Анаксагора. Впишем квадрат в круг и станем последовательно удваивать число его сторон. Когда оно будет достаточно велико, а сами стороны ничтожно малы, многоугольник совпадёт с кругом. Тем самым площади фигур уравняются. Для всякого правильного многоугольника можно построить равновеликий ему квадрат, значит, такое же построение возможно для круга.

Решение Антифона, конечно, не выдержало критики. А вот сама идея неограниченно приблизиться к кругу с помощью последовательности вписанных многоугольников оказалась небесполезной. Она легла в основу метода исчерпывания (применялся при вычислении площадей и объёмов), который разработал в IV веке до н. э. древнегреческий учёный Евдокс Книдский. Кстати, именно его ученик Динострат сумел точно квадрировать круг; правда, дело не обошлось без механической, то есть определённой не геометрически, а с помощью движения, кривой. Но подобные ухищрения геометров не устраивали, поскольку нарушали главное требование: чертить можно только прямые и окружности!

Древние греки рассмотрели также задачу о спрямлении окружности, идентичную квадратуре круга. В ней нужно построить отрезок, длина которого равна длине данной окружности. Впрочем, близкое родство двух этих задач математики выявили не сразу. Интересно, что ни та ни другая задача не упоминаются в «Началах» Евклида, где впервые была изложена общая теория геометрических построений и много внимания уделено свойствам окружности и круга.

В III веке до н. э. гениальный учёный и инженер Архимед Сиракузский строго доказал, что круг равновелик прямоугольному тре-угольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — спрямлённой окружности, границе круга. Тем самым квадратура круга радиуса R свелась к построению отрезка длиной 2πR. Сам Архимед, кстати, мог проделать его с помощью исследованной им спирали. Если удастся построить с помощью циркуля и линейки отрезок длиной π ≈ 22/7, задача будет решена. Прошло более 2000 лет, прежде чем выяснилось, что это невозможно.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Лебедь» возвращается «Лебедь» возвращается

Ту-160 сегодня готовится ко второй жизни

Популярная механика
Бренды и тренды Бренды и тренды

Будущее автомобилей направлено исключительно вверх

Men Today
Тайна гибели академика Легасова Тайна гибели академика Легасова

В апреле 1988 года был обнаружен повесившимся Валерий Легасов

Дилетант
Законы подземных мелодий Законы подземных мелодий

Репортаж из столичного метро: чем живут музыканты под землей

Монокль
9 мифов об Альберте Эйнштейне 9 мифов об Альберте Эйнштейне

Правда и мифы о создателе теории относительности

Вокруг света
Премиальный минимализм Премиальный минимализм

Эта ванная — пример идеального премиального минимализма

Идеи Вашего Дома
Поэт в жизни или Счастливый неудачник… Поэт в жизни или Счастливый неудачник…

О литературном герое Илье Ильиче Обломове

Наука и жизнь
10 неожиданных вопросов группе X4 10 неожиданных вопросов группе X4

Группа X4 — о финансовых приоритетах и детских утренниках

VOICE
«Зелёные русалки» наших вод «Зелёные русалки» наших вод

Кувшинка, словно сказочная наяда, являет себя миру, удивляя красотой

Наука и жизнь
Как подключить телефон к машине: 3 способа Как подключить телефон к машине: 3 способа

Зачем подключать телефон к машине и как это сделать?

РБК
Перед большим полётом Перед большим полётом

Совсем недавно орнитолог Григорий Ерёмкин пригласил меня в гости к журавлям

Наука и жизнь
Мир, где весело и нет времени Мир, где весело и нет времени

Все самое важное о Дживсе и Вустере

Weekend
Борьба с «врагами народа» Борьба с «врагами народа»

От древнеримских проскрипций до наших дней

Наука и жизнь
Новая роль университетов Новая роль университетов

Российские университеты становятся площадками для предпринимательства

Ведомости
Чай по-менделеевски Чай по-менделеевски

Кулинарные истории

Наука и жизнь
Исследование: что такое для российских компаний кадровый резерв, как (и зачем) его формировать Исследование: что такое для российских компаний кадровый резерв, как (и зачем) его формировать

Что такое кадровый резерв и кто его формирует?

Inc.
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
5 привычек, которые бесят всех врачей 5 привычек, которые бесят всех врачей

Почему врач не может поставить вам правильный диагноз?

Maxim
Михаил Горбачёв: «Лёша, б...!» Михаил Горбачёв: «Лёша, б...!»

Президент Горбачёв не смотрел сериал «Чернобыль», но очень им интересовался

Дилетант
Безопасно ли прыгать в сухие листья Безопасно ли прыгать в сухие листья

Прыжки в кучи сухих листьев могут представлять опасность для здоровья

ТехИнсайдер
Сюрреализм — это я! 9 фактов о Сальвадоре Дали Сюрреализм — это я! 9 фактов о Сальвадоре Дали

Самые невероятные истории из жизни знаменитого сюрреалиста

Вокруг света
«Операция „Барбаросса“: Начало конца нацистской Германии» «Операция „Барбаросса“: Начало конца нацистской Германии»

Что мешало немцам продвигаться к Москве

N+1
Ваш персональный мошенник Ваш персональный мошенник

Изучение жизни жертв для атак — новая эффективная тактика мошенников

Ведомости
Слава Никифоров Слава Никифоров

Слава Никифоров: стендап-комик, автор и актер «Кимура шоу», спортсмен и боец

Правила жизни
Дональд Трамп усложнил выдачу виз для граждан всех стран, включая Россию Дональд Трамп усложнил выдачу виз для граждан всех стран, включая Россию

Дональд Трамп хочет, чтобы в США приезжали только высококвалифицированные кадры

Ведомости
Дышать или не дышать: насколько эффективна дорогостоящая ксенонотерапия Дышать или не дышать: насколько эффективна дорогостоящая ксенонотерапия

Ксенонотерапия: что это за метод, безопасен ли он и насколько полезен в лечении?

Forbes
Красота Красота

Новейшие технологии, научные открытия, драгоценные ингредиенты бьюти-индустрии

RR Люкс.Личности.Бизнес.
Звездная мама Звездная мама

Как проявления твоего материнства зависят от знака зодиака

Лиза
Лариса Голубкина: «Напрасно меня пытались не пустить к Миронову в Париж» Лариса Голубкина: «Напрасно меня пытались не пустить к Миронову в Париж»

Рязанов и Карасик просто шеи свернули. Кажется, я им сильно мешала...

Коллекция. Караван историй
Святая обитель Святая обитель

Остров Валаам – место притяжения паломников, историков и археологов

Отдых в России
Открыть в приложении