Как решение абстрактной задачи угрожает всей экономике?

Вокруг светаНаука

Вызов простоты

Самые простые вопросы – самые сложные. Иначе почему математики столетиями бьются над загадками чисел, которые проходят в пятом классе? Рассказываем, почему название «простые числа» обманчиво и как решение абстрактной математической задачи угрожает не только вашему кошельку, но и всей мировой экономике

Текст: Анатолий Глянцев. Иллюстрации: Виктор Богорад

Страшный сон человека, живущего в эпоху цифровизации, – это однажды обнаружить, что персональные данные утекли в свободный доступ, аккаунты взломаны, счета пусты. Но, к сожалению, все это действительно может произойти с каждым из нас – если однажды математики решат интересную задачу и научатся быстро раскладывать любое число на простые множители.

Непростые простые числа

Знакомство с математикой начинается с умения считать. Натуральные числа – 1, 2, 3 и так далее – самые естественные и незамысловатые математические объекты, какие только можно вообразить. Более хитрые понятия – дроби, функции и т.д. – строятся на их основе: как сказал выдающийся математик Леопольд Кронекер, «Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих». А ведь натуральные числа еще проще целых – они всегда положительные.

В этом смысле натуральные числа – первоэлементы, кирпичики, из которых состоит бОльшая часть математики (не вся, так как некоторые области математики вообще не имеют дела с числами, – прим. редакции). Но и среди натуральных чисел есть собственные неделимые «кирпичики», из которых состоят остальные числа.

Рассмотрим для примера несколько вот таких чисел: 4 = 2 × 2; 6 = 2 × 3; 7843 = 11 × 23 × 31. Все эти числа относятся к составным. Смысл этого слова прозрачен: например, число 6 составлено из чисел 2 и 3 с помощью умножения. А из чего составлено само число 2? Ни из чего, кроме самого себя: 2 = 2 × 1, и все (напомним, что мы здесь говорим о натуральных числах, а не о дробях, поэтому нас сейчас не интересуют выражения, подобные таким: 2 = 1/2 × 4).

И дело не в том, что число 2 такое маленькое. Число 9929 тоже простое – так называются числа, начиная с 2, которые делятся только на единицу и на себя. Таким образом, первые 10 простых чисел выглядят так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23. А вот число 1 не считается простым!

Зачем нужны такие числа?

На свойствах простых чисел строится алгоритм, который полвека назад произвел революцию в шифровании и до сих пор применяется очень широко. Самый очевидный способ зашифровать сообщение – придумать секретное обозначение для каждой буквы. Например, буква А будет обозначаться числом 2, Б – числом 9, О – числом 7. Тогда 927929 будет означать «баобаб». Только не теряйте памятку, какая буква как обозначена! Этот листок нужен и чтобы зашифровать сообщение («замок»), и чтобы расшифровать его («ключ»). В том, что замок и ключ – одно и то же, и состоит проблема. Допустим, вы онлайн переводите деньги со счета на счет.

Чтобы вы могли зашифровать свое сообщение банку, банк присылает вам свой фирменный замок. Но что будет, если его перехватит злоумышленник? Раз замок одновременно и ключ, хакер сможет «открыть» этим ключом данные и украсть ваши деньги. Гораздо лучше, когда замок и ключ – разные вещи. Банк выдает клиентам замки, ключи от которых есть только у него. Даже если хакер перехватит замок, он не сможет им ничего открыть, только закрыть! Другими словами, банк должен сообщить вашему смартфону способ зашифровать сообщение так, чтобы никто, кроме банка – даже вы сами, – не мог его расшифровать.

Первый такой шифр придумали Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман в 1970–х. По первым буквам их фамилий этот способ шифрования назвали RSA. «Ключ» в этой системе – два больших простых числа, а «замок» – их произведение. Как именно с их помощью шифруют сообщения – это технические детали, которые мы опустим. Важно, что банк сообщает вам только произведение, а сами простые множители держит в секрете.

Фокус в том, что перемножить два простых числа легко, а вот найти множители по их произведению гораздо труднее. Из каких простых чисел стоит число 87404987? Надо проверить, делится ли оно на 2, 3, 5, 7, 11… Придется перебрать немало чисел, чтобы установить, что 87404987 = 8803 × 9929. А ведь в этом числе всего 8 цифр. В RSA-шифровании используются числа длиной более 600 цифр. Разложить такое число на простые множители – непосильная задача даже для суперкомпьютера, по крайней мере, с существующими алгоритмами. Если кто-то найдет способ это сделать, он наверняка получит самые престижные математические награды – или пулю от обладателей больших капиталов.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Город Геркулеса Город Геркулеса

Геркуланум уничтожило – и сохранило для нас – то же извержение Везувия

Вокруг света
Евгения Громова: «Интересно жить свою жизнь – это уже поступок» Евгения Громова: «Интересно жить свою жизнь – это уже поступок»

Евгения Громова о смелости, режиссерском опыте и важности личных границ

VOICE
Вода королевы Вода королевы

О некоторых удивительных ароматах и ингредиентах раньше сочиняли легенды

Вокруг света
Выбирайте выражения Выбирайте выражения

Какие фразы могут сильно усложнить вашему ребенку?

Лиза
Познание в обход сознания Познание в обход сознания

Почему мозг приписывает намерения нарисованным треугольникам?

Вокруг света
Генетики выявили старейшего известного домашнего кота Китая Генетики выявили старейшего известного домашнего кота Китая

Самая ранняя домашняя кошка жила в VIII или IX веках нашей эры

N+1
Элементарно, Ватсон Элементарно, Ватсон

Портрет необъятной Викторианской эпохи в пяти предметах

Вокруг света
Инна Ульянова: «Мы, женщины, любим обманываться» Инна Ульянова: «Мы, женщины, любим обманываться»

«Ее Маргарита Павловна чуть было не погубила всенародно любимый фильм»

Коллекция. Караван историй
Почитатели стихий Почитатели стихий

Как «лишний» первоэлемент меняет весь мир

Вокруг света
Психолог — о том, как найти решения в трудных жизненных ситуациях Психолог — о том, как найти решения в трудных жизненных ситуациях

Психолог о том, почему стремление к комфортным отношениям

РБК
Дух большой воды Дух большой воды

Почему индейцы боятся «Большой воды» и уходят все глубже в лес?

Вокруг света
Город-феникс Город-феникс

Что стоит увидеть в столице Чеченской Республики в первую очередь

Лиза
Скорпионы и лавры: говорящие детали Скорпионы и лавры: говорящие детали

10 портретов-ребусов эпохи Возрождения

Вокруг света
Гармоничное сочетание Гармоничное сочетание

Как создать гармоничное сочетание, которое уважает традиции разных кухонь?

Bones
Смех – подарок культуры Смех – подарок культуры

Арсений Дежуров напоминает: человека от животного отличает способность смеяться

Правила жизни
Вячеслав Дусмухаметов: За этот сериал мы попадем в рай Вячеслав Дусмухаметов: За этот сериал мы попадем в рай

Продюсер Вячеслав Дусмухаметов — о производстве полнометражных фильмов

Ведомости
«Очень приличный император» «Очень приличный император»

Римский император Диоклетиан: тот, кто променял власть на капусту

Дилетант
В глубинах Бермудского треугольника В глубинах Бермудского треугольника

Снег в глубинах океана и те, кто им питается

Наука и жизнь
Тень сомнений Тень сомнений

Кажется, что вскоре техника будет неотличима от магии, а мир наполнится чудесами

Правила жизни
Марк Принс «Латинист». Фрагмент из романа Марк Принс «Латинист». Фрагмент из романа

Отрывок из переосмысления мифа о Дафне и Аполлоне от Марка Принса

СНОБ
Мёд Мёд

Мёд — уникальный продукт, созданный природой готовым к употреблению

Здоровье
Праздник со вкусом апельсина — что Берджесс, Кубрик и Фуко думали о насилии Праздник со вкусом апельсина — что Берджесс, Кубрик и Фуко думали о насилии

О том, как в «Заводном апельсине» рассматривается тема насилия

СНОБ
Искусство маскировки Искусство маскировки

Многие симптомы разных болезней маскируются под особенности характера

Лиза
Анастасия Толокнова: «Если у вас есть десертная карта, значит, вам нужен кондитер» Анастасия Толокнова: «Если у вас есть десертная карта, значит, вам нужен кондитер»

В чем сила Анастасии Толокновой в кондитерском искусстве

Bones
Выцарапанное на Золотых воротах изображение назвали тамгой Андрея Боголюбского Выцарапанное на Золотых воротах изображение назвали тамгой Андрея Боголюбского

Что означает тамга, обнаруженная во Владимире на Золотых воротах

N+1
Цифровая реальность: взять под контроль Цифровая реальность: взять под контроль

Как мы меняемся и что будет представлять из себя цифровой человек в будущем

Psychologies
Когда нельзя, но очень надо Когда нельзя, но очень надо

Как россияне обходят заградительные ставки по ипотеке

Деньги
Капризы моды в храме науки Капризы моды в храме науки

Казалось бы, в сфере науки просто нет места моде. Но так ли это?

Знание – сила
Потерянная туфелька и утраченная актуальность Потерянная туфелька и утраченная актуальность

Краткая история Золушки от египетских пирамид

Weekend
Ванкель — движение по кругу Ванкель — движение по кругу

Как изобретался и развивался роторно-поршневой двигатель?

Наука и жизнь
Открыть в приложении