Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Причудливая лилия кардиокринум Причудливая лилия кардиокринум

Что помогает садоводам-любителям выращивать редкий кардиокринум?

Наука и жизнь
Моя терапия: «Я так боялась воды, что не могла даже умываться» Моя терапия: «Я так боялась воды, что не могла даже умываться»

Опасная для жизни ситуация может нанести серьезную психологическую травму

Psychologies
Тайны фиванских гробниц Тайны фиванских гробниц

Что изображено на стенах египетских гробниц и как «читать» основные сюжеты

Вокруг света
Реальные смешные истории о том, как мы собираемся на свидания Реальные смешные истории о том, как мы собираемся на свидания

Сборы на свидание - это не только волнительно, но и смешно

Cosmopolitan
Непотопляемый Непотопляемый

Амфибии Amphicar, выпущенные более 60 лет назад, до сих пор в строю

ТехИнсайдер
6 способов наполнить праздничные дни добротой и смыслом 6 способов наполнить праздничные дни добротой и смыслом

Длинные январские каникулы порой навевают тоску

Psychologies
«3 в 1»: из чего делают растворимый кофе «3 в 1»: из чего делают растворимый кофе

Разбираемся, из чего получают растворимый кофе, а заодно и сухое молоко

Популярная механика
«Почему они молчали»: 5 причин, по которым женщины не рассказывают о насилии «Почему они молчали»: 5 причин, по которым женщины не рассказывают о насилии

Почему женщины рассказывают о харассменте и насилии только спустя годы

Cosmopolitan
Geely Tugella. Новые стандарты китайского купе Geely Tugella. Новые стандарты китайского купе

Geely Tugella — купе-кроссовер, реализующий мечты критиков китайского автопрома

4x4 Club
Чек-лист хорошего косметолога: 7 признаков, что врачу можно доверить свое лицо Чек-лист хорошего косметолога: 7 признаков, что врачу можно доверить свое лицо

Чек-лист, с помощью которого можно определить хорошего косметолога

Cosmopolitan
«Не рецензии, а набор стендап-шуток»: кем была Дороти Паркер, самый яркий и едкий публицист довоенной Америки «Не рецензии, а набор стендап-шуток»: кем была Дороти Паркер, самый яркий и едкий публицист довоенной Америки

Отрывок из книги «Нахалки» о писательнице и журналистке Дороти Паркер

Forbes
Эффект цитруса Эффект цитруса

Какие полезные качества скрывают в себе цитрусы

Лиза
Анне Катрине Боман: Агата Анне Катрине Боман: Агата

Глава из книги Анне Катрине Боман о жизни уставшего от работы психотерапевта

СНОБ
Зависимость от «врага»: как образ Запада определяет российскую идентичность Зависимость от «врага»: как образ Запада определяет российскую идентичность

Власти и гражданам России нужно перестать соотносить свои проблемы с Западом

Forbes
Решил остепениться? Как не терять время на дикий секс с бесперспективными красотками Решил остепениться? Как не терять время на дикий секс с бесперспективными красотками

Как понять, что женщина, на которой ты решил жениться, действительно та самая

Maxim
Путешествие за драконом: сэр Дэвид Аттенборо — о приключениях в Индонезии и охоте на огромного варана Путешествие за драконом: сэр Дэвид Аттенборо — о приключениях в Индонезии и охоте на огромного варана

Глава о комодском варане из книги Дэвида Аттенборо «Путешествия натуралиста»

Forbes
Manchzz Manchzz

Первое интервью певицы Manchzz: о псевдониме, карьере и аккаунтах в соцсетях

ЖАРА Magazine
Тысячеликая депрессия: имя одно, а видов много Тысячеликая депрессия: имя одно, а видов много

Существует столько видов депрессии, сколько людей, находящихся в ней

Cosmopolitan
Как появился миф о том, что мозг работает лишь на 10% Как появился миф о том, что мозг работает лишь на 10%

Как появилось предположение о том, что наш мозг работает лишь на 10%?

Популярная механика
«Крушение»: эссе Фрэнсиса Скотта Фицджеральда из одноименного сборника сочинений, написанного для Esquire «Крушение»: эссе Фрэнсиса Скотта Фицджеральда из одноименного сборника сочинений, написанного для Esquire

Ни один из рассказов Фицджеральда не вызвал столько споров, как «Крушение»

Esquire
Почему нам хочется бежать со всех ног от идеального партнера Почему нам хочется бежать со всех ног от идеального партнера

Из-за чего мы избегаем хороших партнеров и как выйти из замкнутого круга

Psychologies
Правила жизни Элайджи Вуда Правила жизни Элайджи Вуда

Правила жизни актера Элайджи Вуда

Esquire
Анастасия Волочкова. Почему она ушла из Большого и чем занимается сейчас Анастасия Волочкова. Почему она ушла из Большого и чем занимается сейчас

Как Анастасия Волочкова стала примой балета и чем занимается сейчас?

Cosmopolitan
Смотрите женщину! 10 самых сексуальных амплуа в истории кино Смотрите женщину! 10 самых сексуальных амплуа в истории кино

Самые сексуальные женские амплуа в кино и лучшие актрисы, воплотившие их

Maxim
Домашние огурцы Домашние огурцы

Внесезонное выращивание огурцов — занятие крайне интересное

Наука и жизнь
5 типов отцов, которые делают из своих детей закомплексованных неудачников 5 типов отцов, которые делают из своих детей закомплексованных неудачников

Описание типов отцов, воспитание которых может только навредить

Maxim
Карен Газарян о возрождении института вытрезвителей Карен Газарян о возрождении института вытрезвителей

Совет Федерации проголосовал за возрождение вытрезвителей

СНОБ
Слово предоставляется Слово предоставляется

Интервью с Клаудио Лути, президентом Salone del Mobile. Milano

SALON-Interior
Бич цифрового общества: как нас всех поразил страх упущенных возможностей и что с этим делать Бич цифрового общества: как нас всех поразил страх упущенных возможностей и что с этим делать

Страх упущенных возможностей — бич цифрового общества, приводящий к стрессу

Forbes
Восток — дело тонкое Восток — дело тонкое

Об особенностях менталитета и привычках восточных женщин

Лиза
Открыть в приложении