Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Престо, модерато, адажио Престо, модерато, адажио

Фантастическая повесть Игоря Вереснева

Наука и жизнь
Ямы на дороге: какие трудности поджидают тех, кто пойдет по пути Uber Ямы на дороге: какие трудности поджидают тех, кто пойдет по пути Uber

Построить компанию в стиле Uber мечтают многие предприниматели

Forbes
Подмосковное озеро расскажет о развитии Земли Подмосковное озеро расскажет о развитии Земли

В Московской области нашли озера, которые могут иметь метеоритное происхождение

Наука и жизнь
По воле волн По воле волн

«Татлер» расспросил врачей об ультразвуковом лифтинге

Tatler
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
Как устроить крутой мальчишник Как устроить крутой мальчишник

Искусство мальчишника долгое время считалось утерянным

Maxim
Чиа, он же испанский шалфей Чиа, он же испанский шалфей

Реклама полезных свойств «семян чиа» смущает многих

Наука и жизнь
Из опенсорсного Yahoo! и справочника о порно — в первую интернет-энциклопедию: история рождения и первого года Wikipedia Из опенсорсного Yahoo! и справочника о порно — в первую интернет-энциклопедию: история рождения и первого года Wikipedia

Откуда взялся движок Wiki и почему проект «выстрелил» после теракта 11 сентября

VC.RU
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Как новый курс футбольного «Челси» скажется на будущем клуба Как новый курс футбольного «Челси» скажется на будущем клуба

Разбираемся, почему лондонцы перестали выигрывать трофеи

GQ
Соль земли Соль земли

Полезные ископаемые, в которых отразилась история планеты

Вокруг света
Между джокером и трендом: как изменится мир за первую половину ХХI века Между джокером и трендом: как изменится мир за первую половину ХХI века

Футуролог: анализ текущих трендов позволяет очертить контуры будущего

Forbes
Девушка на Кубе Девушка на Кубе

Катя Бобкова позирует в горячей, солнечной и морской фотосессии

Maxim
На своей волне На своей волне

Правила общения с пожилыми родственниками, страдающими деменцией

Лиза
Илья Найшуллер Илья Найшуллер

Илья Найшуллер: об опыте работы в Америке, харассменте и женитьбе

Maxim
Мнение: подкастинг выстоял в 2020 году, но в 2021-м будет труднее — меньше идей и сделок Мнение: подкастинг выстоял в 2020 году, но в 2021-м будет труднее — меньше идей и сделок

Глава подкастинговой компании – о том, как будет развиваться индустрия

VC.RU
Балийские макаки-крабоеды наладили бартер с людьми Балийские макаки-крабоеды наладили бартер с людьми

Макаки-крабоеды на острове Бали обменивают украденные у туристов вещи на еду

N+1
Карлсон научит тебя НЛП Карлсон научит тебя НЛП

Краткий курс НЛП от привидения с мотором

Maxim
Распухший супернептун не вписался в теории формирования экзопланет Распухший супернептун не вписался в теории формирования экзопланет

Супернептун WASP-107b обладает очень низкой объемной плотностью

N+1
Месяц трезвости – это путешествие, а не пункт назначения Месяц трезвости – это путешествие, а не пункт назначения

Отказ от алкоголя на месяц поможет узнать важное об отношениях со спиртным

GQ
Американский доктор раскрыл секрет техники «железный пах» от мастеров кунг-фу Американский доктор раскрыл секрет техники «железный пах» от мастеров кунг-фу

Оказалось, чтобы выдержать удар бревном в промежность, нужно напрячь две мышцы

Maxim
7 вещей, которые в России точно лучше, чем в США 7 вещей, которые в России точно лучше, чем в США

Есть вещи, в которых мы однозначно побеждаем США

Maxim
«Нужно меньше пустого пиара. Сначала делай — потом рассказывай» «Нужно меньше пустого пиара. Сначала делай — потом рассказывай»

Валерий Мифтахов — о водородных самолётах, золотом веке авиации и инвестициях

Inc.
Сохранить отношения в год Быка: 3 приема для любящих партнеров Сохранить отношения в год Быка: 3 приема для любящих партнеров

Как научиться слышать близких и находить золотую середину

Psychologies
Старостильники: юлианский календарь как норма веры Старостильники: юлианский календарь как норма веры

Рождество по юлианскому календарю обречено превращаться в летний праздник

Weekend
Астрономы обнаружили пять пульсаров-«пауков» Астрономы обнаружили пять пульсаров-«пауков»

Астрономы изучили миллисекундные пульсары и обнаружили среди них «пауков»

N+1
Остаться при своих Остаться при своих

Что делать, если волосы выпадают, когда и какие меры стоит предпринимать?

Лиза
10 твоих коронных номеров 10 твоих коронных номеров

Как удивить девушку и друзей

Maxim
Исследование Уортонской школы бизнеса: уровень дохода влияет на счастье — больше, чем считалось ранее Исследование Уортонской школы бизнеса: уровень дохода влияет на счастье — больше, чем считалось ранее

Новое исследование показало, что, зарабатывая больше, люди чувствуют себя лучше

Inc.
Подойдет не всем! Все о лазерной шлифовке лица: ради чего стоит терпеть Подойдет не всем! Все о лазерной шлифовке лица: ради чего стоит терпеть

Разбор: лазерная шлифовка кожи лица — кому показана процедура и в чем ее риски

Cosmopolitan
Открыть в приложении