Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Подмосковное озеро расскажет о развитии Земли Подмосковное озеро расскажет о развитии Земли

В Московской области нашли озера, которые могут иметь метеоритное происхождение

Наука и жизнь
Химики сделали катализатор горения метана из десяти металлов Химики сделали катализатор горения метана из десяти металлов

Ученые предложили новую методику для получения наночастиц катализатора

N+1
Престо, модерато, адажио Престо, модерато, адажио

Фантастическая повесть Игоря Вереснева

Наука и жизнь
Модные вещи минувшего десятилетия, которые мы полюбили Модные вещи минувшего десятилетия, которые мы полюбили

В прошедшем десятилетии были вещи, которые мы полюбили искренне

РБК
Дачное время Дачное время

Можно ли охватить несколькими предложениями дачный мир?

Наука и жизнь
Мадагаскарских пауков заподозрили в охоте на лягушек с помощью ловушек из листьев Мадагаскарских пауков заподозрили в охоте на лягушек с помощью ловушек из листьев

Мадагаскарские пауки могут использовать растительные ловушки для ловли лягушек

N+1
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
У вымирающих северных гладких китов родилось 14 китят У вымирающих северных гладких китов родилось 14 китят

Сезон размножения 2021 года выдался для китов самым удачным за последнее время

N+1
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Художник постсоветской реальности: жизнь и творчество знаменитого российского фотографа Сергея Чиликова Художник постсоветской реальности: жизнь и творчество знаменитого российского фотографа Сергея Чиликова

Сергей Чиликов и его художественный метод "фотопровокации"

Esquire
Яицкие «лихие люди» Яицкие «лихие люди»

Империя вытравливала из народной памяти любые упоминания о казачьих бунтах

Дилетант
Красиво, но с натяжкой: все, что нужно знать о SMAS-лифтинге Красиво, но с натяжкой: все, что нужно знать о SMAS-лифтинге

Разбираем SMAS-подтяжку детально!

Cosmopolitan
Каково это – покупать картинки в интернете за миллионы долларов Каково это – покупать картинки в интернете за миллионы долларов

Исповедь Pranksy, NFT-коллекционера, чей точный возраст неизвестен

Esquire
Вошли в историю: 12 звезд, в честь которых назвали сумки Вошли в историю: 12 звезд, в честь которых назвали сумки

Знаменитости, в честь которых названы одни из самых желанных сумок в мире

Cosmopolitan
Трагедия Эйнштейна, или счастливый Сизиф Трагедия Эйнштейна, или счастливый Сизиф

Кто самый великий физик?

Наука и жизнь
Продавец волос, писатель, промальпинист и другие — как проходят их будни и сколько они зарабатывают Продавец волос, писатель, промальпинист и другие — как проходят их будни и сколько они зарабатывают

Монологи представителей разных профессий

VC.RU
О том, как связаны сила воли, деньги, успех и глюкоза О том, как связаны сила воли, деньги, успех и глюкоза

Изучаем, как накачать силу воли с помощью питания, гаджетов и тренировок

Maxim
10 лучших альтернативных источников энергии 10 лучших альтернативных источников энергии

Наша цивилизация нуждается в огромных количествах энергии, но где её добыть?

Популярная механика
Отвечает финансист Отвечает финансист

Что такое ответственное инвестирование и как оно влияет на доход инвесторов?

Robb Report
4 правила самосохранения для эмпатов 4 правила самосохранения для эмпатов

Как эмпату уберечь себя и сохранить способность сопереживать?

Psychologies
Похороны памяти. Что скрывается за предложением Росатома установить фигуры Берии на ВДНХ Похороны памяти. Что скрывается за предложением Росатома установить фигуры Берии на ВДНХ

Нужно ли увековечивать память палачей?

СНОБ
Балийские макаки-крабоеды наладили бартер с людьми Балийские макаки-крабоеды наладили бартер с людьми

Макаки-крабоеды на острове Бали обменивают украденные у туристов вещи на еду

N+1
15 привычек, которые помогают стать счастливее 15 привычек, которые помогают стать счастливее

Кто из нас не хочет радоваться жизни и чувствовать себя счастливым?

Psychologies
Моя терапия: я стала «трудным подростком», спасая родителей от развода Моя терапия: я стала «трудным подростком», спасая родителей от развода

История нашей героини, которая пришла на терапию из-за кризиса среднего возраста

Psychologies
Дроны распределили квантовую запутанность на километр Дроны распределили квантовую запутанность на километр

Оптическая схема распределения запутанных пар фотонов использует беспилотники

N+1
«Простив его, я предам маму»: встреча с отцом через пятнадцать лет «Простив его, я предам маму»: встреча с отцом через пятнадцать лет

Психолог комментирует истории людей, которые не общались с одним из родителей

Psychologies
Время собирать камни Время собирать камни

Фрэнсис Макдорманд — о роли в венецианском триумфаторе «Земля кочевников»

Vogue
Можно и чище Можно и чище

10 ошибок при уборке, которые делают большинство хозяек

Лиза
Нити цивилизации Нити цивилизации

Текстиль учил людей считать, подталкивал технический и социальный прогресс

Forbes
Инвесторы оценили голосовую соцсеть Clubhouse в $1 млрд. Её запустили меньше года назад Инвесторы оценили голосовую соцсеть Clubhouse в $1 млрд. Её запустили меньше года назад

Инвесторы усилили интерес к голосовой соцсети Clubhouse

Inc.
Открыть в приложении