Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Курултай для своих, деспотия для чужих Курултай для своих, деспотия для чужих

В Орде русские князья считались бесправными вассалами

Дилетант
«В советское время не поощрялся интерес к реальному рыцарству»: писатель Алексей Иванов — о своем новом романе «Тени тевтонов» «В советское время не поощрялся интерес к реальному рыцарству»: писатель Алексей Иванов — о своем новом романе «Тени тевтонов»

Алексей Иванов — о воссоздании атмосферы других эпох и отзеркаливании времен

Forbes
Коперникианская революция: 9 мифов об отце современной астрономии Коперникианская революция: 9 мифов об отце современной астрономии

Что мы знаем о Николае Копернике?

Вокруг света
Дали ремня Дали ремня

Как успешный юрист основал маленькую мануфактуру по производству ремней

Robb Report
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
Дети охотнее взрослых поверили в искупление наказанием Дети охотнее взрослых поверили в искупление наказанием

По мнению детей, наказание может сделать человека лучше

N+1
Кошачьи сходства, собачьи различия Кошачьи сходства, собачьи различия

Почему собачьих пород намного больше, чем кошачьих?

Наука и жизнь
Бумажная свадьба: как отмечать, что дарить и как поздравлять Бумажная свадьба: как отмечать, что дарить и как поздравлять

Вторую годовщину свадьбы в России называют «бумажной», в США — «хлопковой»

Cosmopolitan
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Зависимость от «врага»: как образ Запада определяет российскую идентичность Зависимость от «врага»: как образ Запада определяет российскую идентичность

Власти и гражданам России нужно перестать соотносить свои проблемы с Западом

Forbes
Печальный замок на Тибре Печальный замок на Тибре

Один из главных памятников Вечного города

Дилетант
6 способов наполнить праздничные дни добротой и смыслом 6 способов наполнить праздничные дни добротой и смыслом

Длинные январские каникулы порой навевают тоску

Psychologies
«Хрустально-ясное творчество» «Хрустально-ясное творчество»

Какая удочка была для Сергея Тимофеевича Аксакова особенно дорога?

Наука и жизнь
Что такое эссенциализм и как жить в согласии со своими целями Что такое эссенциализм и как жить в согласии со своими целями

Отрывок из книги Грега Маккеона «Путь к простоте»

РБК
Банкноты-путеводители: по курсу евро Банкноты-путеводители: по курсу евро

Увидеть необычные достопримечательности можно, не тратя евро, а рассматривая их

Вокруг света
Елена Зелинская: Парик для дяди Тома. Что не так в сериале «Бриджертоны» Елена Зелинская: Парик для дяди Тома. Что не так в сериале «Бриджертоны»

Почему на Западе стало модным снимать чернокожих актеров в исторических фильмах

СНОБ
Вайнона Райдер, Тони Брэкстон, Роуз Макгоуэн и другие звезды, выросшие в сектах Вайнона Райдер, Тони Брэкстон, Роуз Макгоуэн и другие звезды, выросшие в сектах

Знаменитости из нашего списка выросли в условиях, приближенных к сектантским

Cosmopolitan
Дружеский секс: что о нем думают женщины Дружеский секс: что о нем думают женщины

Дружеские отношения с привилегиями помогают быть уверенными в себе и счастливыми

Psychologies
Возвращение ананасов-убийц! 20 продуктов, которые могут незаметно травить тебя Возвращение ананасов-убийц! 20 продуктов, которые могут незаметно травить тебя

Отдельные виды продовольствия для многих людей являются ядовитыми

Maxim
Шотландия задумалась о возвращении рысей Шотландия задумалась о возвращении рысей

Обыкновенные рыси исчезли из Шотландии более пятисот лет назад

N+1
Лучшие фильмы ужасов 2020 года по мнению фанатов жанра Лучшие фильмы ужасов 2020 года по мнению фанатов жанра

Очень полезный список категории «чего бы такого еще посмотреть»

Maxim
Развод в тренде: почему меняется отношение к браку Развод в тренде: почему меняется отношение к браку

Теряет ли ценность институт брака в наших глазах?

Psychologies
Андерс де ла Мотт: Осеннее преступление Андерс де ла Мотт: Осеннее преступление

Отрывок из книги Андерса де ла Мотта «Осеннее преступление»

СНОБ
Спасаемся от похмелья: продукты, которые помогут вернуться в строй Спасаемся от похмелья: продукты, которые помогут вернуться в строй

Как справиться с похмельем быстро и эффективно?

Cosmopolitan
Одна вокруг света: арест за парковку у Капитолия и зомби-апокалипсис по пути к Ниагаре Одна вокруг света: арест за парковку у Капитолия и зомби-апокалипсис по пути к Ниагаре

103-я серия о кругосветном путешествии москвички Ирины Сидоренко и ее собаки

Forbes
100 лет без права передачи 100 лет без права передачи

Собственность как вина, обман и отказ в «Саге о Форсайтах»

Weekend
Миллионы из воска: как мадам Тюссо построила бизнес на знаменитостях и отрубленных головах Миллионы из воска: как мадам Тюссо построила бизнес на знаменитостях и отрубленных головах

История мадам Тюссо — женщины, которая буквально слепила состояние из воска

Forbes
Светлые головы: звездные блондинки и их образование Светлые головы: звездные блондинки и их образование

Стереотип об интеллекте блондинок всего лишь миф — доказывают жизненные примеры

Cosmopolitan
11 увлекательных фактов о самой лучшей машине времени 11 увлекательных фактов о самой лучшей машине времени

Что ты знаешь о Delorean DMC-12?

Maxim
Технократы удачи: чем могут навредить региональному бизнесу модные топы из Москвы Технократы удачи: чем могут навредить региональному бизнесу модные топы из Москвы

Столичные менеджеры в регионах подменяют результаты красивыми цифрами

Forbes
Открыть в приложении