Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Люди людей еши» «Люди людей еши»

Неурожайные года и голод на Руси

Дилетант
Как писать книги: подробное руководство для начинающего литератора Как писать книги: подробное руководство для начинающего литератора

Пусть этот гайд поможет всем нам войти в литературную историю

Playboy
Сон о Соне Сон о Соне

Самая сексуальная солистка самой популярной группы дала нам интервью!

Maxim
«Представьте, что вы на Burning Man»: как отдыхать на Байкале без вреда для природы, но с пользой для себя «Представьте, что вы на Burning Man»: как отдыхать на Байкале без вреда для природы, но с пользой для себя

Куда ехать и как отдохнуть с комфортом на Байкале?

Forbes
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
Продавая незримое Продавая незримое

Руководство по современному маркетингу услуг

kiozk originals
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Битва за трубу: почему владелец «Тольяттиазота» обвиняет «Уралхим» в использовании «методов из 90-х» Битва за трубу: почему владелец «Тольяттиазота» обвиняет «Уралхим» в использовании «методов из 90-х»

«Продолжение рейдерской атаки» на Тольяттиазот

Forbes
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Эрнест Латыпов: кровь, пот и слезы Эрнест Латыпов: кровь, пот и слезы

В Мариинском театре Эрнест Латыпов станцевал практически весь репертуар

Караван историй
Оттепель: поколение гениев Оттепель: поколение гениев

Хрущёвская либерализация подарила миру целую коллекцию шедевров

Дилетант
9 причин обратиться к психотерапевту (он может тебе помочь) 9 причин обратиться к психотерапевту (он может тебе помочь)

Не стоит недооценивать серьезность проблемы и откладывать визиты к психологу

Playboy
Герой не супер Герой не супер

Джош Хартнетт в фильме «Операция «Фортуна» и сериале «Индекс страха»

GQ
«Расслабленная чувственность»: дизайнер Симон Роша — о коллаборации с H&M и первом опыте работы с мужской одеждой «Расслабленная чувственность»: дизайнер Симон Роша — о коллаборации с H&M и первом опыте работы с мужской одеждой

Симон Роша о создании мужской коллекции и H&M

Esquire
Дети декабря Дети декабря

Декабристы — безумцы, герои, предатели или лучшие сыны нации?

Дилетант
«У меня всегда будут мои звезды»: как первая российская женщина-астроном встретила революцию «У меня всегда будут мои звезды»: как первая российская женщина-астроном встретила революцию

Отрывок из биографии женщины-астронома Нины Субботиной

Forbes
Как добыть энергию из черной дыры: необычная стратегия Как добыть энергию из черной дыры: необычная стратегия

Может ли энергия черной дыры когда-либо послужить для нужд человечества?

Популярная механика
«Хорошие плохие чувства: Почему эволюция допускает тревожность, депрессию и другие психические расстройства» «Хорошие плохие чувства: Почему эволюция допускает тревожность, депрессию и другие психические расстройства»

Отрывок из книги «Хорошие плохие чувства» о том, почему страдания полезны

N+1
Топ-7 лучших программ для просмотра фотографий в Windows Топ-7 лучших программ для просмотра фотографий в Windows

Для просмотра фотографий в Windows 10 можно установить удобную программу

CHIP
Школа Автотуризма. Простые правила счастливых путешествий Школа Автотуризма. Простые правила счастливых путешествий

Все трудности, выпадающие на долю автопутешественника, нужно встречать с улыбкой

4x4 Club
20 вещей, которые должны быть у каждого холостяка 20 вещей, которые должны быть у каждого холостяка

Вещи истинного холостяка, который гордится своим статусом

Maxim
Mitsubishi L200 Siber Truck. Проверено Сибирью Mitsubishi L200 Siber Truck. Проверено Сибирью

Mitsubishi L200 в ярком камуфляже — проект сибирского технического центра STC

4x4 Club
Дальние родственники. Европейские наследники Jeep Дальние родственники. Европейские наследники Jeep

Одни копировали его полностью, другие только внешне

4x4 Club
Спасаемся от похмелья: продукты, которые помогут вернуться в строй Спасаемся от похмелья: продукты, которые помогут вернуться в строй

Как справиться с похмельем быстро и эффективно?

Cosmopolitan
Джуд Лоу Джуд Лоу

Правила жизни британского актера Джуда Лоу

Esquire
Нет леса — нет и королевства: как в Англии закончилась древесина и началась эпоха угля Нет леса — нет и королевства: как в Англии закончилась древесина и началась эпоха угля

Отрывок из книги Ричарда Роудса «Энергия»

Forbes
Теория U Теория U

Лидерство из будущего

kiozk originals
Руперт Гринт — о «Гарри Поттере», новом сезоне «Дома с прислугой» и отцовстве Руперт Гринт — о «Гарри Поттере», новом сезоне «Дома с прислугой» и отцовстве

Руперт Гринт — о любви к алкоголю и о том, как изменилась его жизнь

Esquire
«Дочка, не лезь туда!»: Дмитрий Песков признался, что ругает Лизу за «ляпы» «Дочка, не лезь туда!»: Дмитрий Песков признался, что ругает Лизу за «ляпы»

Дмитрий Песков рассказал, что звонит дочери и жестко с ней разговаривает

Cosmopolitan
Панические атаки, алкоголь, депрессия: какие секреты звезд хранят психотерапевты Панические атаки, алкоголь, депрессия: какие секреты звезд хранят психотерапевты

От психологических проблем не застрахованы даже селебрити

Cosmopolitan
Открыть в приложении