На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизньНаука

Число круче, чем π

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), первооткрыватель числа е, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

Вопрос о том, кто открыл число е, до сих пор вызывает споры. Долгое время математики, фактически пользуясь этим числом, никак не могли его распознать. Однако потрясающая особенность е появляться в самых неожиданных контекстах и помогать с описанием самых разных природных, технических, экономических и демографических процессов привела к тому, что на сегодняшний день нет, пожалуй, области знаний, где бы оно не использовалось, а некоторые науки обязаны ему значительными успехами.

Прячущееся в логарифмах

Число е пришло в математику достаточно поздно, поскольку не имело геометрического происхождения в отличие от π, √2 или золотого сечения, известных ещё с древности. Неявно оно появилось практически одновременно с изобретением логарифмов в 1614 году, как основание одного из видов логарифмов, который лишь через полвека получил название натурального. Правда, у «отца» логарифмов шотландского математика Джона Непера логарифм был не совсем натуральный (его основание близко к 1/е), но уже в 1618 году в приложении к переводу его труда на английский язык появилась табличка из нескольких натуральных логарифмов, сделанная, вероятно, английским математиком и изобретателем логарифмической линейки Уильямом Отредом. А на следующий год другой англичанин, математик и преподаватель Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 и синусов под названием «Новые логарифмы…». В 1624 году создатель первых таблиц десятич-ных логарифмов профессор математики в Оксфорде Генри Бригс вычислил коэффициент, позволяющий связать десятичные логарифмы с натуральными. Фактически это был десятичный логарифм е.

Однако само число е тогда введено не было. Дело в том, что алгоритмы вычисления логарифмов того времени (см. статью «Его величество логарифм», «Наука и жизнь» № 5, 2020 г.) не предусматривали понятия их основания. То, что вычисляемые в те годы логарифмы были по основаниям десять (десятичные) или е (натуральные), стало понятно значительно позже. Более того, даже связь логарифмов с показателями степеней (y = logex; x = ey), с которой начинается их изучение в современной школе, была обнаружена значительно позже. Точно известно, что эту связь в 1684 году уже знал шотландский математик Джеймс Грегори, которого Исаак Ньютон называл в числе своих учителей и вдохновителей. Так что, когда в наше время е называют неперовым числом — это не вполне корректно. Непер не знал этого числа и даже не изобрёл собственно натуральный логарифм.

Любопытно, что термин «экспонента», сейчас прочно связанный с е, появился ещё раньше. Первым, кто использовал слово exponent в значении «показатель степени», был немецкий математик Михаэль Штифель — это понятие встречается в его книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году. Именно Штифель, по сути, предложил алгоритм вычисления логарифмов на основе сопоставления арифметической и геометрической прогрессий, использованный Непером. Но поскольку сам Штифель никаких вычислений не сделал, то слава первооткрывателя досталась шотландцу.

Слово «экспонента» происходит от латинского exponentis — «показывающий». Термин экспоненциальная, или показательная функция (кривая) для зависимости y = ax ввёл Лейбниц в 1679 году. В настоящее время функцию y = ax принято называть показательной, а название экспоненциальная функция (экспонента) закреплено за y = ex.

Логарифмы в отсутствии вычислительных машин играли огромную роль в вычислениях, облегчая и упрощая их. Неудивительно, что они были объектом пристального внимания многих учёных, в том числе фигур первой величины — Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и Христиана Гюйгенса.

В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь фигуры, ограниченной осью х и гиперболой y = 1/x, изменяется от х по логарифмическому закону. С его лёгкой руки такие логарифмы стали называть гиперболическими. Однако никто тогда не догадался посмотреть, при каком x площадь такой фигуры равна 1 (а это будет как раз при x = e), так что e и в этот раз найдено не было.

Бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь S(x) фигуры, ограниченной осью х и гиперболой , равна натуральному логарифму от значения х. Приведена современная запись этого утверждения в виде интеграла.

В 1668 году благодаря фундаментальному труду «Logarithmotechnia» немецкого математика Николаса Меркатора в научный язык входит термин «натуральный логарифм», но неуловимое число е по-прежнему остаётся в тени. (Кстати, современное обозначение «ln» по первым буквам слов «логарифм» и «натуральный» появилось лишь через 200 лет, в 1893 году его ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем.)

Число е как предел

Первым число е неожиданно вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли, решая задачу, никак не связанную с логарифмами. В 1690 году он опубликовал исследование так называемого сложного процента — дохода, составляющего определённый процент (р — процентная ставка, доля) от предоставляемой суммы денежных средств. При каждом очередном его вычислении учитывается исходная сумма вместе с начисленными ранее процентами. Таким образом, исходная сумма S0 после n начислений превращается в

S = (1 + p)n · S0.

Например, при годовой процентной ставке 100% (р = 1) исходная сумма по истечении года (n = 1) удваивается, и каждый рубль превращается в два. Но что будет с полученным доходом, если начислять процент чаще, но во столько же раз уменьшать процентную ставку? Например, если каждые полгода начислять по 50% (р = 0,5), то в конце года у вас вместо 1 рубля будет:

S = (1 + ½)2 · 1 руб. = 2,25 руб.

А если начислять каждый месяц, то

S = (1 + 1/12)12 · 1 руб. = 2,261303… руб.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов увеличивать бесконечно, то величина (1 + 1/n)n имеет предел, лежащий между 2,5 и 3. Это была первая грубая оценка числа е. Бернулли не представлял всей значимости полученного им результата, а потому не стал проводить длительные трудоёмкие вычисления, определяя это значение более точно. Он даже не дал ему никакого обозначения. А ведь именно этот предел теперь служит в математике определением числа е. В со-временных обозначениях:

Именно такую сумму даст 1 рубль за год, если начислять процент непрерывно.

Имя Якоба Бернулли также связано с натуральным логарифмом и числом e через изученные им свойства различных кривых. Правда, их связи с найденным пределом он не увидел, возможно, просто не успел, поскольку скончался в возрасте 50 лет. Любимым объектом изучения Бернулли стала так называемая логарифмическая спираль, современная формула которой записывается как ln r = kθ или r = ae, где a, b и k — константы. Именно Бернулли первым начал широко использовать при построении кривых полярные координаты (в них положение точки на плоскости описывается двумя числами: радиусом r и углом θ).

В отличие от спирали Архимеда, где витки идут через одинаковое расстояние, витки логарифмической спирали расходятся (расстояние между ними увеличивается). Она часто встречается в природе, её можно обнаружить в строении живых организмов, ураганов и даже галактик. Нашла логарифмическая спираль своё место и в искусстве как способ построения орнаментов и композиций. Так, великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер посвятил ей труд, где показывал, как строить и применять спираль для вычерчивания волют (завитков) капителей, побегов с листвой или украшений епископского жезла.

Рукава галактики M 51 в созвездии Гончие Псы представляют собой логарифмическую спираль. Иллюстрация: NASA/ESA/S. Beckwith (STScI)/Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали (пунктирная синяя кривая). Иллюстрация: Dicklyon/Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0
Арка в форме цепной линии в шахском дворце Сасанидов Таки-Кисра (не позднее III века до н. э.) в одном из крупнейших городов античности Ктесифоне (в 32 км от современного Багдада, Ирак). Фото: Library of Congress’s Prints and Photographs/PD

Сейчас даже трудно представить, с какими сложностями сталкивались исследователи того времени, не имея в своём распоряжении современных форм математической записи и средств математического анализа. Задачи, которые в наше время за считаные минуты решит студент-первокурсник, требовали от них месяцев напряжённой работы и совершения открытий.

Логарифмическая спираль настолько восхитила Бернулли своими свойствами, что он называл её «spira mirabilis» — «удивительная спираль» и даже завещал выбить её на своём надгробии вместе с надписью «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я возрождаюсь такой же»), которая описывает свойство этой кривой сохранять свою форму после некоторых преобразований. Правда, тут история немного пошутила над математиком, необразованный мастер изобразил на надгробии спираль Архимеда…

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

О чём поведала астролябия VP-856 и как цифровые карты помогли заглянуть в прошлое О чём поведала астролябия VP-856 и как цифровые карты помогли заглянуть в прошлое

Как ученые и путешественники делали первые карты и измеряли расстояния

Наука и жизнь
“Вынашиваю ребенка для других” “Вынашиваю ребенка для других”

Монолог суррогатной матери о том, почему она выбрала такую работу

Psychologies
Рыцарь грозного образа Рыцарь грозного образа

Император Павел четыре года боролся с вольномыслием и в итоге был убит

Дилетант
С мужского плеча: какую одежду можно и нужно покупать в мужском отделе С мужского плеча: какую одежду можно и нужно покупать в мужском отделе

6 вещей, которые ты найдешь в мужском отделе магазина

Cosmopolitan
Неизвестный минерал из вулкана Толбачик Неизвестный минерал из вулкана Толбачик

Сотрудники СПбГУ обнаружили новый минерал на территории вокруг вулкана Толбачик

Наука и жизнь
Электрических угрей застали за коллективной охотой Электрических угрей застали за коллективной охотой

Электрические угри объединяются в группы и нападают на мелких рыб

N+1
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
5 книг о великих научных открытиях, о которых нужно знать каждому 5 книг о великих научных открытиях, о которых нужно знать каждому

Подборка самых вдохновляющих книг о великих открытиях

Популярная механика
Верные слуги короля Верные слуги короля

С XVII века королевские мушкетёры стали привилегированными войсками

Дилетант
Компост-модернизм Компост-модернизм

О фильме «Снега больше не будет» и магическом реализме с человеческим лицом

Weekend
Кошачьи сходства, собачьи различия Кошачьи сходства, собачьи различия

Почему собачьих пород намного больше, чем кошачьих?

Наука и жизнь
10 нетривиальных мест, куда надо съездить заядлому рыбаку 10 нетривиальных мест, куда надо съездить заядлому рыбаку

Рыбалка – это не только спортивный азарт, но и изучение страны

GQ
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Почему женщины редко становятся шеф-поварами и с какой травлей они сталкиваются Почему женщины редко становятся шеф-поварами и с какой травлей они сталкиваются

Шеф-повар Алена Солодовиченко о том, как искала подход к коллегам-мужчинам

GQ
Великие земляки Великие земляки

Борьба с «низкопоклонством перед Западом»

Дилетант
Почему рубль не резервная валюта Почему рубль не резервная валюта

Россию ждет накопление резервов, повышение налогов и ужесточение регулирования

СНОБ
Следствие на крови Следствие на крови

Каким пыткам подвергался сын Петра I

Дилетант
Саманта умрет, мистера Бига не будет: все о перезапуске Саманта умрет, мистера Бига не будет: все о перезапуске

Рассказываем, что ждать от перезапуска "Секса в большом городе"

Cosmopolitan
Дыба и кнут царевича Алексея Дыба и кнут царевича Алексея

Четыре месяца царь Пётр вел следствие, выбивая из сына показания пытками

Дилетант
Ученые встретили двух карликовых жирафов Ученые встретили двух карликовых жирафов

У этих двух молодых самцов жирафов из Уганды и Намибии сильно укорочены ноги

N+1
Обед для Муссолини Обед для Муссолини

1 июля 1924 года советский полпред в Риме устроил обед для фашистского вождя

Дилетант
OneZero: анонимные издатели зарабатывают на Spotify $1 млн в год, загружая шумы вентиляторов и другие звуки на сервис OneZero: анонимные издатели зарабатывают на Spotify $1 млн в год, загружая шумы вентиляторов и другие звуки на сервис

Авторы, создающие белый шум, нашли способ зарабатывать деньги на стриминге

VC.RU
Ум в большом городе Ум в большом городе

О Фран Лебовиц в мини-сериале Мартина Скорсезе

Weekend
Светлые головы: звездные блондинки и их образование Светлые головы: звездные блондинки и их образование

Стереотип об интеллекте блондинок всего лишь миф — доказывают жизненные примеры

Cosmopolitan
Три главных аргумента, которые помогут выиграть спор с вегетарианцем Три главных аргумента, которые помогут выиграть спор с вегетарианцем

Наука все еще на стороне любителей бифштексов

Maxim
«Дом-2» под снос: почему закончилась 16-летняя история реалити-шоу и ждать ли его возвращения «Дом-2» под снос: почему закончилась 16-летняя история реалити-шоу и ждать ли его возвращения

6066 дней, или 16,5 лет длилось реалити-шоу «Дом-2»

Forbes
5 блюд и напитков, изобретенных случайно 5 блюд и напитков, изобретенных случайно

Блюда, которые получились не благодаря, а вопреки усилиям их авторов

Maxim
Создан самый быстрый метод квантовой генерации случайных чисел Создан самый быстрый метод квантовой генерации случайных чисел

Созданное устройство генерирует случайные числа со скоростью 8.05 Гб в секунду

Популярная механика
Эпоха великого порицания: как незнакомцы из соцсетей превращаются в палачей Эпоха великого порицания: как незнакомцы из соцсетей превращаются в палачей

Отрывок из книги «Итак, вас публично унизили» Джона Ронсона

Forbes
Тайные знаки: зачем королева Елизавета ставит сумку на стол и теребит кольцо Тайные знаки: зачем королева Елизавета ставит сумку на стол и теребит кольцо

Какими тайными знаками пользуются монаршие особы и о чем они говорят

Cosmopolitan
Открыть в приложении