На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизньНаука

Число круче, чем π

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), первооткрыватель числа е, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

Вопрос о том, кто открыл число е, до сих пор вызывает споры. Долгое время математики, фактически пользуясь этим числом, никак не могли его распознать. Однако потрясающая особенность е появляться в самых неожиданных контекстах и помогать с описанием самых разных природных, технических, экономических и демографических процессов привела к тому, что на сегодняшний день нет, пожалуй, области знаний, где бы оно не использовалось, а некоторые науки обязаны ему значительными успехами.

Прячущееся в логарифмах

Число е пришло в математику достаточно поздно, поскольку не имело геометрического происхождения в отличие от π, √2 или золотого сечения, известных ещё с древности. Неявно оно появилось практически одновременно с изобретением логарифмов в 1614 году, как основание одного из видов логарифмов, который лишь через полвека получил название натурального. Правда, у «отца» логарифмов шотландского математика Джона Непера логарифм был не совсем натуральный (его основание близко к 1/е), но уже в 1618 году в приложении к переводу его труда на английский язык появилась табличка из нескольких натуральных логарифмов, сделанная, вероятно, английским математиком и изобретателем логарифмической линейки Уильямом Отредом. А на следующий год другой англичанин, математик и преподаватель Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 и синусов под названием «Новые логарифмы…». В 1624 году создатель первых таблиц десятич-ных логарифмов профессор математики в Оксфорде Генри Бригс вычислил коэффициент, позволяющий связать десятичные логарифмы с натуральными. Фактически это был десятичный логарифм е.

Однако само число е тогда введено не было. Дело в том, что алгоритмы вычисления логарифмов того времени (см. статью «Его величество логарифм», «Наука и жизнь» № 5, 2020 г.) не предусматривали понятия их основания. То, что вычисляемые в те годы логарифмы были по основаниям десять (десятичные) или е (натуральные), стало понятно значительно позже. Более того, даже связь логарифмов с показателями степеней (y = logex; x = ey), с которой начинается их изучение в современной школе, была обнаружена значительно позже. Точно известно, что эту связь в 1684 году уже знал шотландский математик Джеймс Грегори, которого Исаак Ньютон называл в числе своих учителей и вдохновителей. Так что, когда в наше время е называют неперовым числом — это не вполне корректно. Непер не знал этого числа и даже не изобрёл собственно натуральный логарифм.

Любопытно, что термин «экспонента», сейчас прочно связанный с е, появился ещё раньше. Первым, кто использовал слово exponent в значении «показатель степени», был немецкий математик Михаэль Штифель — это понятие встречается в его книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году. Именно Штифель, по сути, предложил алгоритм вычисления логарифмов на основе сопоставления арифметической и геометрической прогрессий, использованный Непером. Но поскольку сам Штифель никаких вычислений не сделал, то слава первооткрывателя досталась шотландцу.

Слово «экспонента» происходит от латинского exponentis — «показывающий». Термин экспоненциальная, или показательная функция (кривая) для зависимости y = ax ввёл Лейбниц в 1679 году. В настоящее время функцию y = ax принято называть показательной, а название экспоненциальная функция (экспонента) закреплено за y = ex.

Логарифмы в отсутствии вычислительных машин играли огромную роль в вычислениях, облегчая и упрощая их. Неудивительно, что они были объектом пристального внимания многих учёных, в том числе фигур первой величины — Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и Христиана Гюйгенса.

В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь фигуры, ограниченной осью х и гиперболой y = 1/x, изменяется от х по логарифмическому закону. С его лёгкой руки такие логарифмы стали называть гиперболическими. Однако никто тогда не догадался посмотреть, при каком x площадь такой фигуры равна 1 (а это будет как раз при x = e), так что e и в этот раз найдено не было.

Бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь S(x) фигуры, ограниченной осью х и гиперболой , равна натуральному логарифму от значения х. Приведена современная запись этого утверждения в виде интеграла.

В 1668 году благодаря фундаментальному труду «Logarithmotechnia» немецкого математика Николаса Меркатора в научный язык входит термин «натуральный логарифм», но неуловимое число е по-прежнему остаётся в тени. (Кстати, современное обозначение «ln» по первым буквам слов «логарифм» и «натуральный» появилось лишь через 200 лет, в 1893 году его ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем.)

Число е как предел

Первым число е неожиданно вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли, решая задачу, никак не связанную с логарифмами. В 1690 году он опубликовал исследование так называемого сложного процента — дохода, составляющего определённый процент (р — процентная ставка, доля) от предоставляемой суммы денежных средств. При каждом очередном его вычислении учитывается исходная сумма вместе с начисленными ранее процентами. Таким образом, исходная сумма S0 после n начислений превращается в

S = (1 + p)n · S0.

Например, при годовой процентной ставке 100% (р = 1) исходная сумма по истечении года (n = 1) удваивается, и каждый рубль превращается в два. Но что будет с полученным доходом, если начислять процент чаще, но во столько же раз уменьшать процентную ставку? Например, если каждые полгода начислять по 50% (р = 0,5), то в конце года у вас вместо 1 рубля будет:

S = (1 + ½)2 · 1 руб. = 2,25 руб.

А если начислять каждый месяц, то

S = (1 + 1/12)12 · 1 руб. = 2,261303… руб.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов увеличивать бесконечно, то величина (1 + 1/n)n имеет предел, лежащий между 2,5 и 3. Это была первая грубая оценка числа е. Бернулли не представлял всей значимости полученного им результата, а потому не стал проводить длительные трудоёмкие вычисления, определяя это значение более точно. Он даже не дал ему никакого обозначения. А ведь именно этот предел теперь служит в математике определением числа е. В со-временных обозначениях:

Именно такую сумму даст 1 рубль за год, если начислять процент непрерывно.

Имя Якоба Бернулли также связано с натуральным логарифмом и числом e через изученные им свойства различных кривых. Правда, их связи с найденным пределом он не увидел, возможно, просто не успел, поскольку скончался в возрасте 50 лет. Любимым объектом изучения Бернулли стала так называемая логарифмическая спираль, современная формула которой записывается как ln r = kθ или r = ae, где a, b и k — константы. Именно Бернулли первым начал широко использовать при построении кривых полярные координаты (в них положение точки на плоскости описывается двумя числами: радиусом r и углом θ).

В отличие от спирали Архимеда, где витки идут через одинаковое расстояние, витки логарифмической спирали расходятся (расстояние между ними увеличивается). Она часто встречается в природе, её можно обнаружить в строении живых организмов, ураганов и даже галактик. Нашла логарифмическая спираль своё место и в искусстве как способ построения орнаментов и композиций. Так, великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер посвятил ей труд, где показывал, как строить и применять спираль для вычерчивания волют (завитков) капителей, побегов с листвой или украшений епископского жезла.

Рукава галактики M 51 в созвездии Гончие Псы представляют собой логарифмическую спираль. Иллюстрация: NASA/ESA/S. Beckwith (STScI)/Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали (пунктирная синяя кривая). Иллюстрация: Dicklyon/Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0
Арка в форме цепной линии в шахском дворце Сасанидов Таки-Кисра (не позднее III века до н. э.) в одном из крупнейших городов античности Ктесифоне (в 32 км от современного Багдада, Ирак). Фото: Library of Congress’s Prints and Photographs/PD

Сейчас даже трудно представить, с какими сложностями сталкивались исследователи того времени, не имея в своём распоряжении современных форм математической записи и средств математического анализа. Задачи, которые в наше время за считаные минуты решит студент-первокурсник, требовали от них месяцев напряжённой работы и совершения открытий.

Логарифмическая спираль настолько восхитила Бернулли своими свойствами, что он называл её «spira mirabilis» — «удивительная спираль» и даже завещал выбить её на своём надгробии вместе с надписью «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я возрождаюсь такой же»), которая описывает свойство этой кривой сохранять свою форму после некоторых преобразований. Правда, тут история немного пошутила над математиком, необразованный мастер изобразил на надгробии спираль Архимеда…

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Курултай для своих, деспотия для чужих Курултай для своих, деспотия для чужих

В Орде русские князья считались бесправными вассалами

Дилетант
Из опенсорсного Yahoo! и справочника о порно — в первую интернет-энциклопедию: история рождения и первого года Wikipedia Из опенсорсного Yahoo! и справочника о порно — в первую интернет-энциклопедию: история рождения и первого года Wikipedia

Откуда взялся движок Wiki и почему проект «выстрелил» после теракта 11 сентября

VC.RU
Верные слуги короля Верные слуги короля

С XVII века королевские мушкетёры стали привилегированными войсками

Дилетант
Как победить в пьяной драке Как победить в пьяной драке

Приемы самозащиты, которые помогут скоротать самую скучную драку

Maxim
Форматы книг в зеркале живописи Форматы книг в зеркале живописи

Какие книги читали в разные времена представители разных сословий

Наука и жизнь
5 самых одиозных пари знаменитого авантюриста из Лас-Вегаса Амарилло Слима 5 самых одиозных пари знаменитого авантюриста из Лас-Вегаса Амарилло Слима

Этот «простоватый ковбой» обводил вокруг пальца самых богатых людей Америки!

Maxim
Белошвейка из Тура Белошвейка из Тура

Герцогиня де Шеврёз — виртуозная политическая интриганка эпохи двух кардиналов

Дилетант
Нимфомания: сладость или гадость. Отрывок из книги Ирины Дайнеко «Иллюзия идеальной жизни» Нимфомания: сладость или гадость. Отрывок из книги Ирины Дайнеко «Иллюзия идеальной жизни»

Отрывок из книги врача-психотерапевта Ирины Дайнеко о её практике

СНОБ
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
Астрономы оценили скорость распространения изгиба в диске Млечного пути Астрономы оценили скорость распространения изгиба в диске Млечного пути

Ученые показали самую детальную визуализацию изгиба диска Млечного пути

N+1
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Аутофагия и еще 3 волшебных слова, зная которые отсрочишь свое старение Аутофагия и еще 3 волшебных слова, зная которые отсрочишь свое старение

Старение неизбежно, но мы можем максимально смягчить его признаки

Cosmopolitan
Геометрия в стиле да Винчи Геометрия в стиле да Винчи

Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизнь
Ed Sheeran Ed Sheeran

Эд Ширан — о музыке, клипах, турах и том, как не видеть солнце несколько месяцев

ЖАРА Magazine
Русские гонки Русские гонки

Первый Кубок России по авиагонкам прошел 19 сентября в Орешково

Популярная механика
Мясорубка для чайников: 25 советов по выживанию на войне, в плену и в тюрьме Мясорубка для чайников: 25 советов по выживанию на войне, в плену и в тюрьме

Аркадий Бабченко — о своем опыте выживания в экстремальных ситуациях

Maxim
Сила слова Сила слова

Некоторым нужно меньше минуты, чтобы прочитать стандартную страницу текста

Вокруг света
«Мэнфри»: как живут женщины, отказавшиеся от отношений с мужчинами «Мэнфри»: как живут женщины, отказавшиеся от отношений с мужчинами

Почему женщины всё чаще отказываются от отношений

Cosmopolitan
20 вещей, которые могут тебе пригодиться в постели 20 вещей, которые могут тебе пригодиться в постели

Объекты и явления, при помощи которых твой секс будет еще великолепнее

Maxim
Продавец волос, писатель, промальпинист и другие — как проходят их будни и сколько они зарабатывают Продавец волос, писатель, промальпинист и другие — как проходят их будни и сколько они зарабатывают

Монологи представителей разных профессий

VC.RU
Церковный дресс-код Церковный дресс-код

Одеяния православных священников напоминают об истории и славе церкви

Дилетант
Как устроить себе отпуск, не выходя из дома: свежие идеи Как устроить себе отпуск, не выходя из дома: свежие идеи

Увидеть новые места и попробовать экзотические блюда теперь можно и дома

Psychologies
Крем от обморожения и домашние грядки в -50°: как вечная мерзлота вдохновляет предпринимательниц из Якутии Крем от обморожения и домашние грядки в -50°: как вечная мерзлота вдохновляет предпринимательниц из Якутии

Якутия — это не только алмазы, но и проекты малого бизнеса

Forbes
Пригнать машину из Европы: реальные цены и все варианты Пригнать машину из Европы: реальные цены и все варианты

Все, что официально не поставляется в Россию, но доступно для покупки

РБК
Культура как комплекс табу, или Почему воспитанные люди не сморкаются в занавеску Культура как комплекс табу, или Почему воспитанные люди не сморкаются в занавеску

Почему общество навязало нам запреты и табу и как теперь с этим жить?

Maxim
Хруст суставов, икота, газы и еще 8 звуков твоего тела: что означают и как бороться Хруст суставов, икота, газы и еще 8 звуков твоего тела: что означают и как бороться

Разбираемся в том, какие сигналы посылает тебе организм и как ему помочь

Maxim
5 вредных привычек 5 вредных привычек

С их помощью мы боремся со стрессом – и проигрываем

Лиза
Секс в браке: заново разжечь огонь желания Секс в браке: заново разжечь огонь желания

Психологи: как сохранить в браке страсть и не разрушить отношения

Psychologies
Стремглав рекомендует: 40 советов для тех, кому вечно некогда Стремглав рекомендует: 40 советов для тех, кому вечно некогда

Все время занят? Вот 40 способов увеличить количество свободного времени

Maxim
Антарктида: ключ к изучению глобального климата Антарктида: ключ к изучению глобального климата

Антарктида — это индикатор современного состояния климата

N+1
Открыть в приложении