История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Греки на краю мира Греки на краю мира

Какие сокровища нашлись у северных берегов Чёрного моря, но не в Греции?

Наука и жизнь
На своем языке На своем языке

Как говорить, чтобы тебя услышали: техника осознанной речи

Лиза
Как возникают и гибнут опухолевые клетки Как возникают и гибнут опухолевые клетки

Механизм возникновения и гибели опухолевых клеток

Наука и жизнь
Что скрывается за модным словом «роялти» ? Что скрывается за модным словом «роялти» ?

Пассивный доход на интеллектуальной собственности: как работает роялти?

Наука и техника
Как мы переживали Как мы переживали

Суббота 23 ноября 1963 была рабочим днём, радио выдавало новость за новостью...

Дилетант
Ох уж эти детки Ох уж эти детки

Звездные мамы и папы рассказали, чему научились у своих детей

Grazia
Евпатория Евпатория

Евпатория — город, существующий во многих измерениях

Знание – сила
Роман Михайлов: Страна в то время быстро лепила себя, как из пластилина Роман Михайлов: Страна в то время быстро лепила себя, как из пластилина

Режиссер Роман Михайлов — о снах и сказочных 90-х

Ведомости
10 фильмов про Супермена, от худших к лучшим 10 фильмов про Супермена, от худших к лучшим

Самые лучшие и самые худшие фильмы про Супермена

Maxim
Почему скрипят тормоза у машины и что с этим делать Почему скрипят тормоза у машины и что с этим делать

Почему возникает скрип тормозов и когда он действительно требует внимания

РБК
Чтобы изучать Вселенную, надо выходить в космос Чтобы изучать Вселенную, надо выходить в космос

Институт астрономии РАН запустит УФ-обсерваторию и создаст лунную базу

Наука и жизнь
Как написать в Ватсап без добавления контакта Как написать в Ватсап без добавления контакта

Разберем, написать в Ватсап без добавления номера в телефонную книгу

CHIP
Чем ты это сказала? Чем ты это сказала?

Кто говорит с нами из колонок?

Men Today
Почему дети не понимают эмоции взрослых Почему дети не понимают эмоции взрослых

Ученые выяснили, почему дети часто неправильно интерпретируют эмоции взрослых

ТехИнсайдер
Легенда Сибири Легенда Сибири

Словно драгоценную чашу держит Бурятия священный Байкал

Лиза
Виниры и люминиры: чем отличаются и что выбрать Виниры и люминиры: чем отличаются и что выбрать

Чем виниры и люминиры отличаются между собой и что из них надежнее

ТехИнсайдер
«Мы не боимся, рынок большой»: экспорт удобрений вырос на фоне европейских пошлин «Мы не боимся, рынок большой»: экспорт удобрений вырос на фоне европейских пошлин

Почему российские удобрения выглядят пока неуязвимыми для санкций

Forbes
Наука в фантастике: эпизоды истории Наука в фантастике: эпизоды истории

Сказочная повесть — фантастика с просветительской задачей

Наука и жизнь
Под напряжением! Под напряжением!

История нашей героини, которая выбрала «неженскую» профессию

Лиза
Едем в Гагры? Едем в Гагры?

Самые популярные курорты СССР, где отдыхали наши бабушки и дедушки

Лиза
Трагическая история Одри Мэнсон, первой американской супермодели Трагическая история Одри Мэнсон, первой американской супермодели

Путь первой американской супермодели Одри Мэнсон к славе

ТехИнсайдер
Безмолвный пациент, или вакцинация в аквакультуре Безмолвный пациент, или вакцинация в аквакультуре

Кто, как и зачем вакцинирует рыб в аквахозяйствах?

Наука и жизнь
Огненный гигант: какой вулкан самый большой в мире Огненный гигант: какой вулкан самый большой в мире

Какой вулкан считается самым высоким, самым большим, самым опасным, самым-самым?

ТехИнсайдер
«Тест на старика»: а вы сможете его пройти? «Тест на старика»: а вы сможете его пройти?

Если у вас есть пять минут, предлагаем испытать свои силы в тесте на старика

Maxim
Возможно, у вас уже все есть: разбор гардероба в 4 простых правилах Возможно, у вас уже все есть: разбор гардероба в 4 простых правилах

Почему бы не заняться разбором гардероба прямо сейчас?

Правила жизни
Ингредиент, который необходим для приготовления бургеров, чтобы сократить количество калорий и жиров Ингредиент, который необходим для приготовления бургеров, чтобы сократить количество калорий и жиров

Диетолог рассказал, как бургеры можно приготовить с пользой для организма

ТехИнсайдер
Леопардовые тюлени поют песни, похожие на детские стишки Леопардовые тюлени поют песни, похожие на детские стишки

Ученые обнаружили, что песни леопардовых тюленей похожи на детские стишки

ТехИнсайдер
Обязательно к посещению: лучшие страны для путешествий в Азии Обязательно к посещению: лучшие страны для путешествий в Азии

Рассказываем об азиатских странах, в которых вам точно нужно побывать

ТехИнсайдер
Как перевезти собаку на мотоцикле и квадрицикле: 4 важных совета от кинолога Как перевезти собаку на мотоцикле и квадрицикле: 4 важных совета от кинолога

Как безопасно перевозить собаку на мотоцикле?

ТехИнсайдер
«Рапунцель» и «Румпельштильцхен»: как сказочницы сочиняли совсем не детские истории «Рапунцель» и «Румпельштильцхен»: как сказочницы сочиняли совсем не детские истории

О шести сказочницах, которые говорили о женской судьбе

Forbes
Открыть в приложении