История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Загадка Дарвинского заповедника Загадка Дарвинского заповедника

Могли ли против правил писать и в методической литературе?

Наука и жизнь
Нехимические зависимости: что это такое, как их распознать и победить Нехимические зависимости: что это такое, как их распознать и победить

Вы просыпаетесь и сразу тянетесь к телефону?

Maxim
Про пропан Про пропан

Если газ сжиженный, то он всё-таки ещё газ или уже жидкость?

Наука и жизнь
Счастье для всех недаром Счастье для всех недаром

Писатель Шамиль Идиатуллин — о роли Аркадия Стругацкого в его жизни

Weekend
Чавчавадзе Чавчавадзе

Чавчавадзе — грузинский род, сыгравший важную роль в российской истории

Дилетант
Чьим голосом вы говорите с собой? Чьим голосом вы говорите с собой?

Тест: как часто вы точно понимаете, чего на самом деле хотите

Psychologies
«Ревность о Севере: Прожектерское предпринимательство и изобретение Северного морского пути в Российской империи» «Ревность о Севере: Прожектерское предпринимательство и изобретение Северного морского пути в Российской империи»

Почему предпринимателей интересовала печорская древесина

N+1
Позитивные вибрации: плюсы и минусы дизельной модификации пикапа JAC T9 Позитивные вибрации: плюсы и минусы дизельной модификации пикапа JAC T9

JAC T9: настоящие внедорожники еще выпускают

ТехИнсайдер
Биология эльфов Биология эльфов

Чем эльфам пришлось бы «пожертвовать» в обмен на вечную жизнь?

Вокруг света
От «коробочек» — к нелинейной архитектуре От «коробочек» — к нелинейной архитектуре

Как может выглядеть архитектура XXI века?

Монокль
Музыка — не в нотах Музыка — не в нотах

Что мы потеряли в музыке за последние сто лет, педантично следуя нотам?

СНОБ
Пушки или масло Пушки или масло

Как технологии двойного назначения помогли послевоенной конверсии

Эксперт
Трудовая дисциплина Трудовая дисциплина

Об отношении Гвардиолы к тренировочному процессу и его системе мотивации игроков

Ведомости
Алексей Маслов: «Для Китая Россия — это прежде всего точки продаж» Алексей Маслов: «Для Китая Россия — это прежде всего точки продаж»

Как развиваются связи РФ и КНР и чего ждать в будущем

РБК
Гений, садовник и киноман: 10 эпизодов из биографии Кодзимы Гений, садовник и киноман: 10 эпизодов из биографии Кодзимы

Что вы знаете о Хидео Кодзиме?

Правила жизни
Ксения Хаирова Ксения Хаирова

О Валентине Талызиной, актрисе поистине уникальной

Караван историй
Жизнь и открытия Степана Куторги: от классиков до звероящеров Жизнь и открытия Степана Куторги: от классиков до звероящеров

«Удивительные ошибки» гения: как российский ученый открыл звероящеров

Наука и техника
Зеленый доктор Зеленый доктор

Чем больше «травы» – тем меньше вес

Лиза
Обязательно к посещению: лучшие страны для путешествий в Азии Обязательно к посещению: лучшие страны для путешествий в Азии

Рассказываем об азиатских странах, в которых вам точно нужно побывать

ТехИнсайдер
Как красное мясо усугубляет проблемы с кишечником Как красное мясо усугубляет проблемы с кишечником

Употребление красного мяса может усугубить болезни кишечника

ТехИнсайдер
Рельсы стратегического направления Рельсы стратегического направления

Байкало-Амурская магистраль — детище русско-японской и последующих войн

Наука
Отец спящего родился Отец спящего родился

135 лет назад появился на свет Говард Филлипс Лавкрафт

Weekend
Председатель комитета Госдумы по защите семьи, вопросам отцовства, материнства и детства Нина Останина: Институт полигамии мы узаконивать не будем Председатель комитета Госдумы по защите семьи, вопросам отцовства, материнства и детства Нина Останина: Институт полигамии мы узаконивать не будем

Нина Останина — об аспектах законодательной деятельности

Ведомости
История культового символа Лондона: почему телефонные будки красного цвета История культового символа Лондона: почему телефонные будки красного цвета

Почему телефонные будки Лондона окрашены именно в яркий красный цвет?

ТехИнсайдер
Меньше не значит хуже: как и зачем развивать бизнес в малых городах. Опыт компьютерного клуба Меньше не значит хуже: как и зачем развивать бизнес в малых городах. Опыт компьютерного клуба

Малые города: зачем бизнесу заходить на такие территории и как с этим работать?

Inc.
Древнерусские амазонки: как воительницы описывались в былинах и преданиях Древнерусские амазонки: как воительницы описывались в былинах и преданиях

Что фольклористам известно русских воительницах и как они изменились со временем

Forbes
Правда ли, что горячие напитки ведут к раку? Правда ли, что горячие напитки ведут к раку?

Существует ли связь между горячими напитками и раком пищевода?

ТехИнсайдер
Красота функции Красота функции

Интерьер функционального дома для двух взрослых и двух детей

SALON-Interior
У горных горилл насчитали шестьдесят три жеста У горных горилл насчитали шестьдесят три жеста

Ученые описали жестовый репертуар диких горных горилл

N+1
Русские страсти Русские страсти

Об экранизации романа Евгения Водолазкина «Авиатор»

СНОБ
Открыть в приложении