Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Переусердствовал на тренировке? 7 способов избавиться от боли в мышцах Переусердствовал на тренировке? 7 способов избавиться от боли в мышцах

Семь советов, как избавиться от боли в мышцах

Playboy
Валентина Рубцова: «Не смогу бегать голышом в кадре» Валентина Рубцова: «Не смогу бегать голышом в кадре»

Блиц-опрос со звездой сериала «СашаТаня»

StarHit
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Ожоги и раны Ожоги и раны

Как лечить раны и ожоги правильно

Maxim
Био-механизм Био-механизм

Пауки, пожалуй, самые высокотехнологичные существа на планете

Вокруг света
Приметы и суеверия о беременности: есть ли разумное зерно? Приметы и суеверия о беременности: есть ли разумное зерно?

Однозначно утверждать, что все приметы глупы и беспочвенны, нельзя

9 месяцев
Студенты перестали мечтать о быстрых головокружительных карьерах Студенты перестали мечтать о быстрых головокружительных карьерах

У российских студентов скорректировались приоритеты при выборе места работы

Ведомости
Volkswagen Touareg Volkswagen Touareg

Третье поколение Volkswagen Touareg не растеряло приключенческого духа

Quattroruote
Черная быль. Что именно произошло на Чернобыльской АЭС и чем все кончилось Черная быль. Что именно произошло на Чернобыльской АЭС и чем все кончилось

С момента катастрофы на Чернобыльской АЭС прошло уже много лет

Maxim
Гражданин Маккейн Гражданин Маккейн

Сенатор Маккейн рассказал о своем необыкновенном времени

Esquire
Цивилизация: игра либидо с самим собой Цивилизация: игра либидо с самим собой

Михаил Эпштейн размышляет о способности к многоступенчатому наслаждению

Psychologies
Максим Виторган: «Ксюша помогла мне снять оковы» Максим Виторган: «Ксюша помогла мне снять оковы»

Максим Виторган раскрыл «СтарХиту» секрет, как избегает скандалов с супругой

StarHit
70 лет приключений 70 лет приключений

Семьдесят лет весь мир следит за приключениями внедорожников фирмы Land Rover

АвтоМир
Как угостить девушку выпивкой и не показаться придурком: 7 идеальных советов Как угостить девушку выпивкой и не показаться придурком: 7 идеальных советов

Не стоит забывать про знакомства оффлайн, например, с помощью коктейля в баре

Playboy
Кое-что о природе авторитаризма: почему у людей так легко сгибаются колени и есть ли в этом какая-нибудь польза Кое-что о природе авторитаризма: почему у людей так легко сгибаются колени и есть ли в этом какая-нибудь польза

Авторитаризм — примерно то, что происходит сейчас в России

Maxim
Скрытая угроза Скрытая угроза

О том, как перестать беспокоиться и начать жить

Добрые советы
Сверхчеловек: бета-версия Сверхчеловек: бета-версия

Биохакеры пытаются редактировать гены при помощи собственных изобретений

Esquire
От монстра до красотки: 12 лучших кинообразов Шарлиз Терон От монстра до красотки: 12 лучших кинообразов Шарлиз Терон

Знаковые роли актрисы Шарлиз Терон и эффектные образы из фильмов

Cosmopolitan
Кто такая Kedr Livanskiy и почему о ней говорят все Кто такая Kedr Livanskiy и почему о ней говорят все

Москвичка Яна Кедрина прощается с романтическим прошлым

Vogue
Удовольствие есть Удовольствие есть

Как питаться осознанно — и зачем это делать

Yoga Journal
Вы само совершенство: чем опасен перфекционизм Вы само совершенство: чем опасен перфекционизм

Чем опасно стремление к идеалу и почему оно может погубить нашу жизнь

Psychologies
9 самых популярных искусственных языков 9 самых популярных искусственных языков

Будь мужиком, выучи эсперанто (или еще восемь искусственных языков)

Maxim
Оксфорды, лоферы и прочие дерби: а вы знаете, как выглядит хипстерская обувь? Оксфорды, лоферы и прочие дерби: а вы знаете, как выглядит хипстерская обувь?

Оксфорды, лоферы и прочие дерби: а вы знаете, как выглядит хипстерская обувь?

Playboy
Как продолжить пользоваться смартфоном с разбитым экраном Как продолжить пользоваться смартфоном с разбитым экраном

Это только кажется, что разбитый, но дышащий телефон все еще остается телефоном

Maxim
Четыре мифа о том, как сохранить брак Четыре мифа о том, как сохранить брак

Советы относительно семейной жизни сыплются на пары со всех сторон

Psychologies
Как сделать классные фото на мобильный: советы модели и фотографа Как сделать классные фото на мобильный: советы модели и фотографа

Простые правила съемки на мобильный телефон

Cosmopolitan
Специалист со сроком годности. Негативные последствия пенсионной реформы для рынка труда Специалист со сроком годности. Негативные последствия пенсионной реформы для рынка труда

К чему ведет уголовная ответственность за увольнение в предпенсионном возрасте

СНОБ
Дом вверх дном Дом вверх дном

Дом на западе Москвы с использованием самых сумасшедших идей

AD
Летучие ирландцы Летучие ирландцы

На Аранских островах до сих пор живут так, как жили древние кельты

Вокруг света
7 знаменитых врачей Античности и Средневековья 7 знаменитых врачей Античности и Средневековья

Знаменитые врачи, спасавшие пациентов во времена Античности и Средневековья

Дилетант
Открыть в приложении