Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Переусердствовал на тренировке? 7 способов избавиться от боли в мышцах Переусердствовал на тренировке? 7 способов избавиться от боли в мышцах

Семь советов, как избавиться от боли в мышцах

Playboy
Незастывающее слово Незастывающее слово

Языку так тяжело в тисках учебников и словарей

Популярная механика
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Как приучить ребенка к дисциплине Как приучить ребенка к дисциплине

Метод, который разрешит затруднения и поможет договориться с ребенком

Psychologies
Украденные технологии: что человечество заимствует у природы Украденные технологии: что человечество заимствует у природы

Украденные технологии: что человечество заимствует у природы

Forbes
Конец великой стройки. Почему Россия отстает в развитии инфраструктуры Конец великой стройки. Почему Россия отстает в развитии инфраструктуры

Чем определяется экономическое развитие страны

Forbes
Города и страны, которые сводят с ума Города и страны, которые сводят с ума

Эти города и страны способны повлиять на психику и кардинально изменить жизнь

Здоровье
Экзамен для бизнесмена: три вопроса, которые должен задать себе каждый Экзамен для бизнесмена: три вопроса, которые должен задать себе каждый

Знание ключевых метрик своего бизнеса критически важно при оценке положения дел

Forbes
Сохраняйте спокойствие Сохраняйте спокойствие

Спокойствие — мощный способ достижения успеха в жизни

kiozk originals
Любовь к книгам начинается с детства: секреты воспитания Любовь к книгам начинается с детства: секреты воспитания

Психолог делится рецептом, который помог ей вырастить детей, увлеченных чтением

Psychologies
Tatler 10 Tatler 10

Самые красивые героини самых громких наших обложек

Tatler
Как владельцы бесплатных приложений зарабатывают миллионы долларов Как владельцы бесплатных приложений зарабатывают миллионы долларов

До сих пор думаешь, что лайкать прикольные фотки котов не стоит тебе ни копейки?

Maxim
Пора-пора-порадовались: реальная история создания самого культового советского фильма «Д’Артаньян и три мушкетера» Пора-пора-порадовались: реальная история создания самого культового советского фильма «Д’Артаньян и три мушкетера»

Закулисье культового советского фильма «Д’Артаньян и три мушкетера»

Maxim
В США пытаются запретить главного конспиролога. Американцы недовольны и отстаивают свободу слова В США пытаются запретить главного конспиролога. Американцы недовольны и отстаивают свободу слова

Случай, когда самого ненавистного человека нации защищает эта же нация

Maxim
Синявинские высоты: как саперная лопатка стала любимым оружием советской пехоты Синявинские высоты: как саперная лопатка стала любимым оружием советской пехоты

В тот день саперные лопатки показали свою страшную эффективность

Maxim
Сильная девочка Сильная девочка

Анна Плетнёва представила в новом клипе свою старшую дочь Варю

OK!
10 фраз, которые нельзя говорить детям при разводе 10 фраз, которые нельзя говорить детям при разводе

Родители, проходящие через развод, должны внимательно следить за словами

Psychologies
Если очень захотеть, можно в космос полететь Если очень захотеть, можно в космос полететь

Профессия, которой не учат ни в одном учебном заведении

Популярная механика
«Черный август»: грозит ли Трампу импичмент? «Черный август»: грозит ли Трампу импичмент?

Трампа могут привлечь к ответственности по различным статьям

Forbes
Какую косметику выбирают пост-миллениалы Какую косметику выбирают пост-миллениалы

Приоритеты современной молодежи на примере косметических средств

Psychologies
Вечный двигатель Вечный двигатель

Интервью с Ре­ги­ной То­до­рен­ко

Glamour
Вредные иллюзии. Почему Европе не нужен американский газ Вредные иллюзии. Почему Европе не нужен американский газ

Сжиженный газ стремительно утекает с европейского рынка

Forbes
7 знаменитых врачей Античности и Средневековья 7 знаменитых врачей Античности и Средневековья

Знаменитые врачи, спасавшие пациентов во времена Античности и Средневековья

Дилетант
История Гарри Селфриджа — человека, который породил современные торговые центры История Гарри Селфриджа — человека, который породил современные торговые центры

История о человеке, который сделал из магазинов то, чем они являются сейчас

Maxim
Топ-5 трендов осени: что мы будем носить в новом сезоне Топ-5 трендов осени: что мы будем носить в новом сезоне

Осень вот-вот вступит в свои права и заставит сменить футболки на свитера

Cosmopolitan
Жизнь после родов: как правильно расставить приоритеты? Жизнь после родов: как правильно расставить приоритеты?

Часто в бесконечной череде домашних дел женщина совсем забывает о себе

9 месяцев
15 фактов о Майкле Джексоне 15 фактов о Майкле Джексоне

29 августа 1958 года родился великий Майкл

Maxim
Семен Слепаков собрал звезд на презентации своего нового сериала Семен Слепаков собрал звезд на презентации своего нового сериала

Семен Слепаков собрал звезд на презентации своего нового сериала

Cosmopolitan
Дэвид Боуэн: художник, который рисует... мухами Дэвид Боуэн: художник, который рисует... мухами

Интересно, что рассказали бы нам растения и животные, если бы умели говорить

Популярная механика
На этот раз по-настоящему: открыто новое свойство воды На этот раз по-настоящему: открыто новое свойство воды

Физики обнаружили ранее неизвестное свойство воды, связанное с транспортом ионов

Forbes
Открыть в приложении