Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

25 вещей, которые на самом деле ненавидят женщины 25 вещей, которые на самом деле ненавидят женщины

Эта статья поможет тебе прожить чуть более счастливую и долгую жизнь

Maxim
1970: Прошла зима, настало лето 1970: Прошла зима, настало лето

В 1971 году операторы «Лунохода–1» «нарисовали» на поверхности Луны цифру «8»

Esquire
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Няня — друг или враг. Как распознать опасного кандидата при найме Няня — друг или враг. Как распознать опасного кандидата при найме

Няня — друг или враг. Как распознать опасного кандидата при найме

Forbes
Украденные технологии: что человечество заимствует у природы Украденные технологии: что человечество заимствует у природы

Украденные технологии: что человечество заимствует у природы

Forbes
Как подобрать вино к девушке Как подобрать вино к девушке

Мы предлагаем новый, прогрессивный метод определения, что вы будете пить

Maxim
10 примет времени, изменивших наш быт 10 примет времени, изменивших наш быт

Forbes представляет 10 самых ярких примет нашего времени

Forbes
Профессия будущего? Кто такой Data Scientist и почему им надо становиться Профессия будущего? Кто такой Data Scientist и почему им надо становиться

Что такое Data Science простыми словами

Playboy
Как выбрать идеальный ноутбук Как выбрать идеальный ноутбук

Правильный ноутбук выполняет все пожелания пользователя

CHIP
Как победить хищника? Как победить хищника?

Навыки выживания, необходимые для победы над расой идеальных охотников

Популярная механика
Insta-стиль по-английски: 7 модных аккаунтов из Великобритании Insta-стиль по-английски: 7 модных аккаунтов из Великобритании

Список стильных Instagram-аккаунтов из Британии. Подписываемся!

Cosmopolitan
Игра в бренды Игра в бренды

Компания Ferrero намерена удвоить рост в ближайшие 10 лет

Forbes
Семен Слепаков собрал звезд на презентации своего нового сериала Семен Слепаков собрал звезд на презентации своего нового сериала

Семен Слепаков собрал звезд на презентации своего нового сериала

Cosmopolitan
Джакомо Барон Джакомо Барон

Джакомо Барон о престиже, хорошем вкусе и дизайне кухни

SALON-Interior
Как разглядеть свою красоту Как разглядеть свою красоту

Чтобы очаровывать других, надо прежде самой обнаружить прекрасное в себе

Psychologies
Штурмовые отряды кайзера: штурмгруппы на Первой мировой Штурмовые отряды кайзера: штурмгруппы на Первой мировой

Фронты Первой мировой представляли собой огромную взаимную осаду

Популярная механика
Страховое прикрытие. Как анонимно хранить деньги за рубежом Страховое прикрытие. Как анонимно хранить деньги за рубежом

Полис иностранного страховщика стал альтернативой налоговой гавани

Forbes
НДС поднимут до 20%. Чего ждать водителям? НДС поднимут до 20%. Чего ждать водителям?

НДС поднимут до 20%. Чего ждать водителям?

АвтоМир
Неравный брак Неравный брак

История Матильды Бонапарт

Караван историй
Опасная черта: почему Ереван и Москва не понимают друг друга? Опасная черта: почему Ереван и Москва не понимают друг друга?

Новая элита Армении судит не только бывшего президента страны

Forbes
9 самых невероятных мастеров стрит-арта, которые снесут вам крышу 9 самых невероятных мастеров стрит-арта, которые снесут вам крышу

Эти люди создают масштабные проекты прямо на фасадах зданий

Playboy
Физика искусства: кинетические инсталляции Коити Окамото Физика искусства: кинетические инсталляции Коити Окамото

Инсталляции студии Kyouei Design и ее главного идеолога Коити Окамото

Популярная механика
Только спокойствие: влияние стресса на кожу Только спокойствие: влияние стресса на кожу

Каких проблем с кожей можно избежать, сократив количество стресса в жизни?

Psychologies
Школьное поле экспериментов Школьное поле экспериментов

Сделали ли бесконечные реформы российскую школу лучше?

Русский репортер
1960: Локальное потепление 1960: Локальное потепление

Страна оттаивает в лучах хрущевской оттепели

Esquire
В Москве пройдет рэп-фестиваль Rhymes Show В Москве пройдет рэп-фестиваль Rhymes Show

Вторая часть музыкального фестиваля Rhymes Show пройдет 18 августа в Москве

Cosmopolitan
Как правильно сообщать плохие новости Как правильно сообщать плохие новости

Как правильно сообщать плохие новости

Maxim
Технократия: тест Audi A8 L 55 Технократия: тест Audi A8 L 55

Audi A8 борется за звание самого высокотехнологичного представительского седана

Популярная механика
Евгения Добровольская. Разбивая стереотипы Евгения Добровольская. Разбивая стереотипы

Воспоминания Евгении Добровольской о том, как она стала актрисой

Караван историй
Почему подростки выбирают суицид Почему подростки выбирают суицид

Почему у подростков возникает желание уйти из жизни и как их остановить

СНОБ
Открыть в приложении