Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Криптовалюты. Поколение второе Криптовалюты. Поколение второе

От «цифрового золота» к полноценным деньгам

Популярная механика
Не только «Катюша»! 10 самых смертоносных русских железок, которыми можно гордиться Не только «Катюша»! 10 самых смертоносных русских железок, которыми можно гордиться

Что касается оружия, нам всегда было чем похвастаться

Maxim
Украденные технологии: что человечество заимствует у природы Украденные технологии: что человечество заимствует у природы

Украденные технологии: что человечество заимствует у природы

Forbes
Формальный вопрос: 8 школьных дресс-кодов Формальный вопрос: 8 школьных дресс-кодов

Пока взрослые в спорят о необходимости школьной формы, дети продолжают ее носить

Вокруг света
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Ленивая река Ленивая река

Первые главы романа Ленивая река

Esquire
Плохая идея: куда точно не нужно идти на первое свидание Плохая идея: куда точно не нужно идти на первое свидание

Разбираемся, куда и почему лучше не идти с незнакомцем/незнакомкой в первый раз

Maxim
Для тех, кто любит в доме порядок Для тех, кто любит в доме порядок

Практикум по уборке и оптимизации пространства

Домашний Очаг
Маячок манипулятора. Как распознать и побороть газлайтинг на рабочем месте Маячок манипулятора. Как распознать и побороть газлайтинг на рабочем месте

Газлайтеры на работе — чрезвычайно токсичные персонажи

Forbes
Arctic Bus, электрический Hummer и Стивен Сигал: что посмотреть на фестивале «Мобилистика» Arctic Bus, электрический Hummer и Стивен Сигал: что посмотреть на фестивале «Мобилистика»

С 29 августа по 9 сентября пройдет фестиваль «Мобилистика’18»

Maxim
Топ-10 ошибок, которые совершают родители Топ-10 ошибок, которые совершают родители

Родительство — это работа на полный день без всякого обучения

Psychologies
10 самых амбициозных и неосуществленных проектов СССР 10 самых амбициозных и неосуществленных проектов СССР

Лунная база «Звезда», Дворец Советов и другие грандиозные и несбыточные проекты

Maxim
Игра в эклектику: почему сочетать несочетаемое — это нормально Игра в эклектику: почему сочетать несочетаемое — это нормально

Гардероб современной женщины давно не может ограничиваться одним стилем

Cosmopolitan
Зной, отеки, варикоз... Зной, отеки, варикоз...

Не секрет, что вены не любят жару, особенно, если с ними уже есть проблемы

Лиза
Пираты XXI века Пираты XXI века

Борьба с информационными атаками на автомобили продолжается

Quattroruote
Понять себя и простить? Понять себя и простить?

Какие ошибки мы совершаем и чем нам поможет опыт неудач

Psychologies
Руни Мара. Девушка с секретом Руни Мара. Девушка с секретом

Руни Маре свойственны неспособность лгать, жесткость и одновременно ранимость

Караван историй
Распределительная вертикаль Распределительная вертикаль

Сто лет назад большевики отменили частную собственность на жилье

Огонёк
Бросить институт ради любви?! Бросить институт ради любви?!

Моя дочь, поступившая в престижный вуз, не придет в этот день на учебу

Лиза
7 заболеваний, которые могут поддаваться лечению каннабиноидами 7 заболеваний, которые могут поддаваться лечению каннабиноидами

Терапевтическое влияние каннабиноидов на ряд заболеваний

Популярная механика
«Последняя капля»: ссоры, ставшие причиной развода «Последняя капля»: ссоры, ставшие причиной развода

Разведенные люди рассказывают о последней ссоре

Psychologies
Приметы и суеверия о беременности: есть ли разумное зерно? Приметы и суеверия о беременности: есть ли разумное зерно?

Однозначно утверждать, что все приметы глупы и беспочвенны, нельзя

9 месяцев
Дама с собачкой Дама с собачкой

Где проходит грань между привязанностью к питомцам и их очеловечиванием

Лиза
Как сделать классные фото на мобильный: советы модели и фотографа Как сделать классные фото на мобильный: советы модели и фотографа

Простые правила съемки на мобильный телефон

Cosmopolitan
Орлиный глаз Орлиный глаз

Системы кругового обзора на пяти машинах разных классов и сегментов

Quattroruote
8 причин, по которым мы боимся взрослеть 8 причин, по которым мы боимся взрослеть

8 причин, по которым мы боимся взрослеть

Psychologies
Вся свежесть в графине: 8 рецептов лимонадов и сангрий Вся свежесть в графине: 8 рецептов лимонадов и сангрий

Рецепты самых популярных лимонадов и сангрий в графинах этого сезона

Cosmopolitan
Страшнее прививок: будут ли ваших детей поголовно секвенировать Страшнее прививок: будут ли ваших детей поголовно секвенировать

Вопрос целесообразности расшифровки геномов всех новорожденных детей

Forbes
Вредные привычки, которые ты не замечаешь Вредные привычки, которые ты не замечаешь

Вредные привычки, которые ты не замечаешь

Cosmopolitan
Деревянные боевые машины Майкла Ри Деревянные боевые машины Майкла Ри

Больше всего скульптора Майкла Ри увлекает идея путешествия во времени

Популярная механика
Открыть в приложении