Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Операция «Антимозг» Операция «Антимозг»

О вреде умственного напряжения и творческой пользе бездумного существования

Maxim
Дорога к счастью Дорога к счастью

Чтобы понять Уругвай, сюда надо приехать хотя бы на пару недель

Psychologies
Био-механизм Био-механизм

Пауки, пожалуй, самые высокотехнологичные существа на планете

Вокруг света
«Я не видела его два месяца»: москвичка пытается вернуть своего ребенка «Я не видела его два месяца»: москвичка пытается вернуть своего ребенка

История женщины, у которой отобрали ребенка

Cosmopolitan
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Победа Winstrike, поражение Virtus.pro и Гейб Ньюэлл в тапочках. Как прошла церемония открытия The International Победа Winstrike, поражение Virtus.pro и Гейб Ньюэлл в тапочках. Как прошла церемония открытия The International

Как прошла церемония открытия The International

Maxim
Однажды в Белом море Однажды в Белом море

Соловки – фантастической красоты природа и наблюдение за белухами

2Xplore
Рецепт ее выпечки Рецепт ее выпечки

«Буханка» кормит завод УАЗ вот уже 60 лет

Quattroruote
Секстинг вместо секса Секстинг вместо секса

Не секстинг виноват в том, что исследователи называют кризисом секса

Playboy
Как следует отвечать на 9 неудобных детских вопросов Как следует отвечать на 9 неудобных детских вопросов

Как правильно отвечать ребенку на его самые неудобные вопросы

Maxim
7 главных фильмов с Роберт Де Ниро, обязательных к просмотру 7 главных фильмов с Роберт Де Ниро, обязательных к просмотру

Роберт Де Ниро — человек, без которого мы не представляем себе мужское кино

Maxim
С чем носить казаки этой осенью: 3 крутых идеи на любой случай С чем носить казаки этой осенью: 3 крутых идеи на любой случай

Казаки уже сейчас можно смело окрестить главной обувью этой осени

Cosmopolitan
Актер как бренд Актер как бренд

Как Александр Петров превращает свое имя в торговую марку

РБК
Лучшие концерты фестиваля Flow 2018 Лучшие концерты фестиваля Flow 2018

Flow 2018. Хельсинки встречали кинодив, ретро-рокеров и рэперов-скромников

Cosmopolitan
Здравствуйте, товарищи Здравствуйте, товарищи

Как попасть в Северную Корею и пробежать полумарафон

Tatler
Как закалялась сталь Как закалялась сталь

«Татлер» вспоминает светскую Россию, которую мы потеряли

Tatler
Коварный поцелуй Коварный поцелуй

Ученые подсчитали, что во время поцелуев передается около 500 вирусов и бактерий

Лиза
Строгость и справедливость Строгость и справедливость

Основатель компании Luciano Barbera о демократии в моде и хороших портных

The Rake
Insta-стиль по-английски: 7 модных аккаунтов из Великобритании Insta-стиль по-английски: 7 модных аккаунтов из Великобритании

Список стильных Instagram-аккаунтов из Британии. Подписываемся!

Cosmopolitan
Назад в СССР. Как новые санкции повлияют на российскую экономику Назад в СССР. Как новые санкции повлияют на российскую экономику

В случае даже частичного принятия санкции будут самыми серьезными со времен СССР

Forbes
5 способов экстренной борьбы с целлюлитом 5 способов экстренной борьбы с целлюлитом

Проверенные методы уменьшить «апельсиновую корку»

Cosmopolitan
Мир сквозь линзы Мир сквозь линзы

Не пора ли перейти на контактные линзы?

Лиза
Дивный новый мир. Зачем нужны большие данные о здоровье пациентов Дивный новый мир. Зачем нужны большие данные о здоровье пациентов

Возможности применения больших данных в здравоохранении огромны

Forbes
10 простых упражнений для развития навыков скорочтения 10 простых упражнений для развития навыков скорочтения

Прочти эту статью и овладей техникой скорочтения

Maxim
Работа по профилю Работа по профилю

Главному злодею Голливуда Ха­вьеру Бар­дему наконец досталась положительная роль

GQ
«Правило трех секунд» и еще 9 неписаных психологических законов поведения за рулем «Правило трех секунд» и еще 9 неписаных психологических законов поведения за рулем

Десять поведенческих моделей водителей, о которых не расскажут в ГАИ

Maxim
9 винтажных фото призраков с жуткой историей 9 винтажных фото призраков с жуткой историей

Мы собрали самые леденящие кровь фотографии и расскажем их истории

Cosmopolitan
Хороший улов Хороший улов

Рыбацкая хижина в Танжере превратилась в просторный и яркий дом

AD
Как научиться жить без сахара Как научиться жить без сахара

Как научиться жить в гармонии с собой, без всякой тяги к сладостям

Psychologies
«Я изменила мужу и поняла, что никогда этого не повторю» «Я изменила мужу и поняла, что никогда этого не повторю»

Неверность отравляет отношения независимо от того, знает ли о ней партнер

Psychologies
Открыть в приложении