Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

25 вещей, которые на самом деле ненавидят женщины 25 вещей, которые на самом деле ненавидят женщины

Эта статья поможет тебе прожить чуть более счастливую и долгую жизнь

Maxim
Ученые назвали человека канцерогенным видом Ученые назвали человека канцерогенным видом

Деятельность человека приводит к росту заболеваемости раком среди диких животных

Популярная механика
Био-механизм Био-механизм

Пауки, пожалуй, самые высокотехнологичные существа на планете

Вокруг света
«Не навредить» детям: возможно ли это? «Не навредить» детям: возможно ли это?

Как вырастить ребенка, не нанеся ему ни одной травмы

Psychologies
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Как сказать своей девушке, что ты до сих пор общаешься с бывшей? 3 главных правила Как сказать своей девушке, что ты до сих пор общаешься с бывшей? 3 главных правила

Три важных совета о том, как сообщить своей девушке об общении с бывшей

Playboy
В Донбасс входит российское гражданство В Донбасс входит российское гражданство

Кремль подготовил план упрощенной выдачи паспортов жителям ДНР и ЛНР

РБК
Андрей Григорьев-Апполонов: «Боюсь накосячить перед любимой» Андрей Григорьев-Апполонов: «Боюсь накосячить перед любимой»

Рыжий «Иванушка» откровенно рассказал о своих фобиях

StarHit
Минный пол Минный пол

20 вещей, которых мы боимся в женщинах

Maxim
Считаем до семи Считаем до семи

Сравнительный тест Hyundai Tucson и Volkswagen Tiguan

АвтоМир
Лучшие шутки дня и юмористическое убежище! Лучшие шутки дня и юмористическое убежище!

Специальный дайджест авторского юмора с авторской орфографией.

Maxim
Памятка Аполлона: 9 научных фактов, как стать привлекательным для женщины Памятка Аполлона: 9 научных фактов, как стать привлекательным для женщины

Мы вам покажем, как вызвать у женщины восторг, опираясь на научные факты

Playboy
Трудности перевода. Как мир относится к Армении после революции Трудности перевода. Как мир относится к Армении после революции

Как мир относится к Армении после революции

Forbes
«Держите убийцу тов. Ленина»: опубликованы документы и фото из дела о покушении на создателя СССР «Держите убийцу тов. Ленина»: опубликованы документы и фото из дела о покушении на создателя СССР

Фото с инсценировки покушения на Ленина и другое увлекательное чтиво

Maxim
1990: Лихие и крутые 1990: Лихие и крутые

В январе 1991 года на Пушкинской площади открылся первый «Макдоналдс»

Esquire
Магазины Sephora приходят в Россию! Магазины Sephora приходят в Россию!

Скоро в России появится еще одна крупная сеть косметических магазинов

Cosmopolitan
Страшно красивые: Бузова, Гагарина, Дакота и другие русские звезды без макияжа Страшно красивые: Бузова, Гагарина, Дакота и другие русские звезды без макияжа

Звезды с радостью делятся со своими фолловерами снимками а-ля натурель

Cosmopolitan
Жизнь без партнера: что мешает нам быть счастливыми? Жизнь без партнера: что мешает нам быть счастливыми?

Оценка действенности советов Далай-ламы и архиепископа ЮАР Десмонда Туту

Psychologies
Еда, которую ты всегда считал полезной, и очень напрасно Еда, которую ты всегда считал полезной, и очень напрасно

Еда, которую ты всегда считал полезной, и напрасно

Playboy
«Последняя капля»: ссоры, ставшие причиной развода «Последняя капля»: ссоры, ставшие причиной развода

Разведенные люди рассказывают о последней ссоре

Psychologies
Агрессивные девственники: появятся ли инцелы в России? Агрессивные девственники: появятся ли инцелы в России?

На Западе набирает обороты движение инцелов

Psychologies
Когда Кайя встретила Карла Когда Кайя встретила Карла

Что купить из первой коллекции Karl Lagerfeld x Kaia

Vogue
Оксфорды, лоферы и прочие дерби: а вы знаете, как выглядит хипстерская обувь? Оксфорды, лоферы и прочие дерби: а вы знаете, как выглядит хипстерская обувь?

Оксфорды, лоферы и прочие дерби: а вы знаете, как выглядит хипстерская обувь?

Playboy
Профессия — режиссер Профессия — режиссер

Успешные красавицы-актрисы, ставшие режиссерами, не редкость в мировой практике

OK!
Сказочник, подаривший нам друзей детства: вспоминаем творчество Эдуарда Успенского Сказочник, подаривший нам друзей детства: вспоминаем творчество Эдуарда Успенского

14 августа в возрасте 80 лет умер Эдуард Успенский

Esquire
Дина Рубина: «Человеческие драмы нельзя подгонять под термины» Дина Рубина: «Человеческие драмы нельзя подгонять под термины»

Искренний разговор с писательницей Диной Рубиной

Psychologies
Вне моды: почему не стыдно быть наемным менеджером Вне моды: почему не стыдно быть наемным менеджером

Герой нашего времени — основатель стартапа, за два-три года ставший богатым

Forbes
10 фраз, которые нельзя говорить детям при разводе 10 фраз, которые нельзя говорить детям при разводе

Родители, проходящие через развод, должны внимательно следить за словами

Psychologies
Старые знакомые Старые знакомые

О курортах, на которых многие из нас отдыхали в детстве

Лиза
Я поверила в себя Я поверила в себя

Блогеры, которые мотивируют на успех

Cosmopolitan
Открыть в приложении