Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

10 животных, способных на чудовищную жестокость 10 животных, способных на чудовищную жестокость

Некоторым животным свойственно проявлять жестокость по отношению к себе подобным

Популярная механика
Грустные истории журнала «Ералаш»: 6 трагических судеб звёзд киножурнала Грустные истории журнала «Ералаш»: 6 трагических судеб звёзд киножурнала

6 актёров «Ералаша», чья судьба сложилась трагически

Cosmopolitan
«Обрусевшие» роллы. Как россияне полюбили японскую кухню «Обрусевшие» роллы. Как россияне полюбили японскую кухню

Какие трансформации пережила японская кухня в России?

СНОБ
ПДД предложили включить в ЕГЭ. Зачем и когда это произойдет ПДД предложили включить в ЕГЭ. Зачем и когда это произойдет

Как может измениться школьная программа по изучению правил дорожного движения

РБК
Моника Белуччи: «Любая женщина мечтает примерить роль проститутки» Моника Белуччи: «Любая женщина мечтает примерить роль проститутки»

Сегодня исполняется неважно сколько лет Монике Белуччи. Праздничная фотосессия!

Maxim
Стас Круглицкий — о суперспособности Сантаны, буллинге и Большом театре Стас Круглицкий — о суперспособности Сантаны, буллинге и Большом театре

Стас Круглицкий — как совмещает перфекционизм и лень

РБК
«Две трети городского населения могут стать счастливее». Как и почему в России занялись благоустройством набережных «Две трети городского населения могут стать счастливее». Как и почему в России занялись благоустройством набережных

Почему именно набережные сегодня становятся центром притяжения горожан

СНОБ
Незнакомая знакомая Турция Незнакомая знакомая Турция

У самой границы с Сирией Турция предстает перед туристами совершенно неожиданной

Здоровье
Гудбай, сайентолог! Как Кидман развелась с Крузом и зажила счастливо Гудбай, сайентолог! Как Кидман развелась с Крузом и зажила счастливо

Как развод с Томом Крузом сделал Николь Кидман звездой мирового масштаба?

Cosmopolitan
«Красотка»,«Друзья»,«Мулен Руж!»: какими бы получись дети у культовых кинопар «Красотка»,«Друзья»,«Мулен Руж!»: какими бы получись дети у культовых кинопар

Мы немного пофантазировали на тему совместного будущего пар из любимых фильмов

Cosmopolitan
«Нечего надеть»: о каких проблемах в жизни говорит «пустой» полный шкаф «Нечего надеть»: о каких проблемах в жизни говорит «пустой» полный шкаф

Раздражение, охватывающее вас при виде своего гардероба, говорит о проблемах

Cosmopolitan
Хвост сэкономил динозавру энергию при ходьбе Хвост сэкономил динозавру энергию при ходьбе

Ученые выяснили, что хвост динозавра позволял экономить энергию

N+1
Палеонтологи обнаружили на юго-западе Испании ясли древних слонов Палеонтологи обнаружили на юго-западе Испании ясли древних слонов

Палеонтологи обнаружили многочисленные окаменевшие следы прямобивневых слонов

N+1
Перестаньте говорить детям эти 4 фразы, если хотите научить их самодисциплине — нейробиологи Перестаньте говорить детям эти 4 фразы, если хотите научить их самодисциплине — нейробиологи

Что нельзя говорить родителям, если они хотят воспитать в детях самодисциплину

Inc.
Полжизни в одной компании. История Саши Шкурко — главы отдела технологий продуктовых систем «Тинькофф» Полжизни в одной компании. История Саши Шкурко — главы отдела технологий продуктовых систем «Тинькофф»

Саша Шкурко проработала в одной компании 19 лет и построила карьеру мечты

СНОБ
Бизнесмен. Федор Овчинников Бизнесмен. Федор Овчинников

Федор Овчинников и его путь от микропиццерии в Сыктывкаре до сети «Додо Пицца»

GQ
Как эффективно восстановить ослабевающую память Как эффективно восстановить ослабевающую память

Когда автоматические напоминания и цветные стикеры больше не помогают

GQ
7 вопросов, которые помогут уменьшить число конфликтов в отношениях 7 вопросов, которые помогут уменьшить число конфликтов в отношениях

В чем причина скандалов в паре и как их можно избежать?

Psychologies
Горячая подборка фотографий Брижит Бардо — в честь дня ее рождения Горячая подборка фотографий Брижит Бардо — в честь дня ее рождения

Смотрим лучшие архивные фотографии великой французской актрисы Брижит Бардо

Maxim
Не только «Ирония судьбы»: 10 фильмов Эльдара Рязанова, которые стоит посмотреть Не только «Ирония судьбы»: 10 фильмов Эльдара Рязанова, которые стоит посмотреть

Фильмы Эльдара Рязанова, которые ты обязательно должна посмотреть

Cosmopolitan
Самые популярные сериалы и фильмы Netflix: официальная статистика Самые популярные сериалы и фильмы Netflix: официальная статистика

Видеосервисы традиционно не любят делиться статистикой просмотров

Maxim
Привычка к лучшему Привычка к лучшему

Легендарный парижский гранд-отель, ставший героем фильма Вуди Аллена

GQ
Предел функции Предел функции

Многоуровневый функциональный интерьер в духе конструктивистских ячеек XX века

AD
Экс-сотрудница крематория рассказала, что бывает с имплантами при кремации Экс-сотрудница крематория рассказала, что бывает с имплантами при кремации

Что ждёт имплантаты и другие человеческие «запчасти» после смерти их владельцев

Cosmopolitan
Войти в колею Войти в колею

Что такое послеотпускной синдром и как его преодолеть

Лиза
Альфонсы, женатики и скамеры: как распознать обманщика на сайте знакомств Альфонсы, женатики и скамеры: как распознать обманщика на сайте знакомств

Чего стоит опасаться при онлайн-знакомствах

Cosmopolitan
Сколько на чай оставлять заправщику на АЗС и оставлять ли вообще. Отвечаем на три главных вопроса Сколько на чай оставлять заправщику на АЗС и оставлять ли вообще. Отвечаем на три главных вопроса

Как не выглядеть жлобом на АЗС и не разориться одновременно

Maxim
«Страх, что это конец жизни»: я 15 лет жила с паническими атаками и победила их «Страх, что это конец жизни»: я 15 лет жила с паническими атаками и победила их

Приступ паники может случиться у любого на фоне длительного стресса

Cosmopolitan
Старые, но интересные: 6 онлайн-игр, которые потянут слабые ПК Старые, но интересные: 6 онлайн-игр, которые потянут слабые ПК

Онлайн-игры, не требующие сильного железа

CHIP
Палеонтологи диагностировали кариес у приматов возрастом 54 миллиона лет Палеонтологи диагностировали кариес у приматов возрастом 54 миллиона лет

От кариеса страдали 7,48 процента особей вида Microsyops latidens

N+1
Открыть в приложении