Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Умные вещи века Умные вещи века

10 переизобретений, без которых ты раньше отлично жил, но теперь – не сможешь

Maxim
Артем Быстров: «Застрять в отрицательном амплуа я не боюсь» Артем Быстров: «Застрять в отрицательном амплуа я не боюсь»

Актер Артем Быстров, исполнивший роль в новом сериале «Контейнер»

Grazia
Бабочка барония — живое ископаемое Бабочка барония — живое ископаемое

Живых представителей древних видов бабочек можно встретить и по сей день

Наука и жизнь
Apple защищает конфиденциальность клиентов, но не сотрудников: она просматривает их звонки, фото и даже сумки Apple защищает конфиденциальность клиентов, но не сотрудников: она просматривает их звонки, фото и даже сумки

Политика Apple: как компания борется с утечками, используя двойные стандарты

VC.RU
Палеопатологи впервые описали синдром Тричера Коллинза у средневековой женщины Палеопатологи впервые описали синдром Тричера Коллинза у средневековой женщины

Синдромом Тричера Коллинза не мешал женщине быть интегрированной в общество

N+1
Каникулы по принуждению: что стоит за недельным отпуском для сотрудников Nike Каникулы по принуждению: что стоит за недельным отпуском для сотрудников Nike

Как Nike показал, что психическое здоровье персонала имеет существенное значение

Inc.
Губки бантиком: какими были в детстве Джиджи Хадид,Ариана Гранде и другие звезды Губки бантиком: какими были в детстве Джиджи Хадид,Ариана Гранде и другие звезды

Они были нереально милыми малышками в раннем детстве

Cosmopolitan
Гигиена — в фокусе внимания Гигиена — в фокусе внимания

Смесители для раковины: что нового предлагают производители

Идеи Вашего Дома
Квантовая теория против гравитации: неужели они в самом деле так отличаются? Квантовая теория против гравитации: неужели они в самом деле так отличаются?

Как примирить два противоречивых столпа современной физики?

Популярная механика
Почему быть застенчивым не всегда плохо? Почему быть застенчивым не всегда плохо?

Как скромность, иногда даже излишняя, может стать нашим хорошим другом

Psychologies
Бешенство: как защитить себя от смертельно опасной болезни Бешенство: как защитить себя от смертельно опасной болезни

Самую важная информация о бешенстве

РБК
Да, я Хофманнита Да, я Хофманнита

HOFMANNITA — о женской хип-хоп-сцене, рехабе и чувстве недооцененности

Собака.ru
«Чувствуешь ли ты, что в чем-то до сих пор виноват?» Психолог Александр Рязанцев — о том, как пережить утрату «Чувствуешь ли ты, что в чем-то до сих пор виноват?» Психолог Александр Рязанцев — о том, как пережить утрату

Отрывок из книги Александра Рязанцева — о стадиях и способах переживания горя

СНОБ
Однофотонную нелинейность реализовали при комнатной температуре Однофотонную нелинейность реализовали при комнатной температуре

Физики показали нелинейный отклик всего лишь от одного фотона

N+1
Технологии для города: как они меняют жизнь людей Технологии для города: как они меняют жизнь людей

Как технологии меняют жизнь горожан

СНОБ
Двое в комнате Двое в комнате

История шедевра Яна Вермеера

Robb Report
Карта акне: что расположение прыщей на лице говорит о твоем здоровье Карта акне: что расположение прыщей на лице говорит о твоем здоровье

Расположение прыщей на лице может многое сказать о причинах их появления

Cosmopolitan
Дима Зицер: «Будьте на стороне ребенка, даже когда тот не прав» Дима Зицер: «Будьте на стороне ребенка, даже когда тот не прав»

Как помочь детям верить в себя и избежать провалов в воспитании?

Psychologies
Популярные нарушения в городе, за которые лишают прав. Подробности Популярные нарушения в городе, за которые лишают прав. Подробности

Нарушения автомобилистов, которые могут привести к лишению прав

РБК
Увидеть первые Apple, сделать копию на ксероксе и потрогать мышку: как в Минске-88 прошла выставка «Информатика в США» Увидеть первые Apple, сделать копию на ксероксе и потрогать мышку: как в Минске-88 прошла выставка «Информатика в США»

Выставка «Информатика в США» стала потрясением для жителей Минска

VC.RU
Ловушка для родителей Ловушка для родителей

Эмоциональное выгорание родителей – как восстановить баланс?

Здоровье
«Люди врут, чтобы понравиться»: как сценарист Майкл Левитон перестал говорить правду «Люди врут, чтобы понравиться»: как сценарист Майкл Левитон перестал говорить правду

Сценарист Майкл Левитон: почему правда — не лучший помощник

Forbes
Эффект шепчущей галереи помог создать активную акустическую среду Эффект шепчущей галереи помог создать активную акустическую среду

Физики построили резонатор на модах шепчущей галереи

N+1
6 привычек, которые вредят отношениям 6 привычек, которые вредят отношениям

Возможно, пора изменить что-то в себе, чтобы и отношения изменились к лучшему?

Psychologies
Подобрать «Ключ»: как IT-бар превратился в сеть коворкингов и растет в пандемию Подобрать «Ключ»: как IT-бар превратился в сеть коворкингов и растет в пандемию

Почему сеть коворкингов «Ключ» не стала сворачивать развитие вопреки кризису

Forbes
Остывший фронтир. Почему власти не удается заманить людей на Дальний Восток Остывший фронтир. Почему власти не удается заманить людей на Дальний Восток

Возможно ли спасти Дальний Восток от вымирания?

СНОБ
Всегда готова Всегда готова

Как правильно применять для гидроизоляции уже готовые мастики

Идеи Вашего Дома
Слышат ли нас растения Слышат ли нас растения

Полезны ли разговоры с растениями?

Популярная механика
Археологи впервые нашли в Нижнем Приангарье бронзовых птиц раннего железного века Археологи впервые нашли в Нижнем Приангарье бронзовых птиц раннего железного века

Археологи впервые обнаружили орнитоморфные бронзовые фигурки

N+1
Самцы живущих в суровом климате австралийских грызунов отрастили крупные семенники Самцы живущих в суровом климате австралийских грызунов отрастили крупные семенники

Как грызуны выигрывают конкуренцию во время короткого брачного сезона?

N+1
Открыть в приложении