Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Лики Вики Лики Вики

До съемки в нашем презренном журнале снизошла богиня «Инстаграма» Вики Одинцова

Maxim
Тайная свадьба, аборт и «голая» съемка: 5 удивительных фактов о Миле Йовович Тайная свадьба, аборт и «голая» съемка: 5 удивительных фактов о Миле Йовович

Жизнь американской актрисы Милы Йовович похожа на американские горки

VOICE
Теория запаха Теория запаха

Зачем в парфюмерных лабораториях изучают влияние ароматов на мозг

Glamour
Прощай, Стэнфорд! Незабываемые герои второго плана, которых больше нет с нами Прощай, Стэнфорд! Незабываемые герои второго плана, которых больше нет с нами

Актеры, которые сыграли второстепенные, но очень яркие роли

Cosmopolitan
Почему мы соглашаемся на посредственные отношения Почему мы соглашаемся на посредственные отношения

Пока мы не решим наших личных проблем, здоровые отношения нам не светят

Psychologies
«Важно видеть ребенка, а не его диагноз»: история особенного материнства «Важно видеть ребенка, а не его диагноз»: история особенного материнства

Почему важно обращать внимание на самого ребенка, а не на его диагноз

Psychologies
Клаудиа Кардинале: почему одна из самых красивых актрис в мире была против брака Клаудиа Кардинале: почему одна из самых красивых актрис в мире была против брака

Почему Клаудиа Кардинале не стремилась замуж

Cosmopolitan
Добавление и вычитание одиночного фонона увидели при комнатной температуре Добавление и вычитание одиночного фонона увидели при комнатной температуре

Состояние ансамбля фононов может быть неклассическим

N+1
Тонкий человек: Фридерик Шопен и его недуги Тонкий человек: Фридерик Шопен и его недуги

Шопен прожил короткую и яркую жизнь, а причина его смерти вызывает дискуссии

Вокруг света
Как работает 5G и в каких странах применяют этот стандарт связи Как работает 5G и в каких странах применяют этот стандарт связи

В поисках сетевой истины мы отправились в Дубай — Мекку 5G

РБК
Инфоцыгане или спасители жизней? Кто они – Елена Блиновская и другие инстафеи Инфоцыгане или спасители жизней? Кто они – Елена Блиновская и другие инстафеи

Кто такие инстафеи?

Cosmopolitan
7 практик, которые помогут развить харизму 7 практик, которые помогут развить харизму

Как стать тем, кому хотят подражать, кем бесконечно восхищаются окружающие?

Psychologies
10 правил для первого секса с новым партнером 10 правил для первого секса с новым партнером

Первый секс с новым любовником всегда волнителен

Psychologies
«Разжимая кулаки»: драма об осетинской девушке, которой не позволяют взрослеть «Разжимая кулаки»: драма об осетинской девушке, которой не позволяют взрослеть

«Разжимая кулаки» — история о девушке в беспросветном осетинском городке

GQ
Ландшафт Марса может защитить колонистов от смертоносного излучения Ландшафт Марса может защитить колонистов от смертоносного излучения

Особенности марсианского рельефа могут существенно понизить угрозу облучения

Популярная механика
Настоящие гиганты: 23 самых больших животных в мире (угадай, кто самый огромный) Настоящие гиганты: 23 самых больших животных в мире (угадай, кто самый огромный)

Список самых длинных и тяжелых обитателей суши и морей

Playboy
Подтяжка манекенщицы: новый и простой тренд в пластике, который делает моложе Подтяжка манекенщицы: новый и простой тренд в пластике, который делает моложе

Высокие скулы и объемные губы Анджелины Джоли давно неактуальны!

Cosmopolitan
Тимоти Шаламе и Дени Вильнев о «Дюне», страхах и первом знакомстве Тимоти Шаламе и Дени Вильнев о «Дюне», страхах и первом знакомстве

Тимоти Шаламе и Дени Вильнев встретились с Cosmo

Cosmopolitan
«Допы», которые могут навредить машине. Список с пояснениями «Допы», которые могут навредить машине. Список с пояснениями

Дополнительное оборудование, перед установкой которого лучше подумать

РБК
Абьюз 80 уровня: девушка оказалась в инвалидной коляске из-за ревнивого бывшего Абьюз 80 уровня: девушка оказалась в инвалидной коляске из-за ревнивого бывшего

Парень сбросил девушке на спину бетонную плиту, а затем покончил с собой

Cosmopolitan
Как Хелен Герли Браун подарила женщинам свободную любовь и одержимость диетами Как Хелен Герли Браун подарила женщинам свободную любовь и одержимость диетами

За что Герли Браун критикуют феминистки и за что стоит сказать ей «спасибо»

Forbes
Как устроен терменвокс — единственный в мире бесконтактный музыкальный инструмент Как устроен терменвокс — единственный в мире бесконтактный музыкальный инструмент

Сто лет назад инженер, физик и виолончелист Лев Термен изобрел терменвокс

Популярная механика
Больше света: 16 необычных храмов Больше света: 16 необычных храмов

Как католики стремятся идти в ногу со временем

Вокруг света
Могут ли существовать первичные черные дыры размером с атом Могут ли существовать первичные черные дыры размером с атом

Может ли темная материя являться скоплением первичных черных дыр

Популярная механика
Хрустят запорошенные страницы: почему «Дюна» Дени Вильнева не передает всю сложность фантастической литературы Хрустят запорошенные страницы: почему «Дюна» Дени Вильнева не передает всю сложность фантастической литературы

Почему на экранизацию «Дюны» не стоит возлагать надежд?

Esquire
5 токсичных установок, мешающих нам заниматься творчеством 5 токсичных установок, мешающих нам заниматься творчеством

У многих из нас есть творческие барьеры, через которые пора перешагнуть

GQ
Матрица монитора: какая лучше? Узнайте до того, как будете покупать Матрица монитора: какая лучше? Узнайте до того, как будете покупать

IPS, VA, OLED — какие бывают матрицы и кому какая подойдет

CHIP
Моника Белуччи: «Любая женщина мечтает примерить роль проститутки» Моника Белуччи: «Любая женщина мечтает примерить роль проститутки»

Сегодня исполняется неважно сколько лет Монике Белуччи. Праздничная фотосессия!

Maxim
Аглая Епанчина Аглая Епанчина

Психотерапевт размышляет о характере персонажа из романа «Идиот»

Psychologies
Успокоительное без рецепта: 10 способов снять тревожность без таблеток Успокоительное без рецепта: 10 способов снять тревожность без таблеток

Волнуешься, переживаешь, испытываешь стресс? Знакомая история

Cosmopolitan
Открыть в приложении