Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Как микробы управляют нами Как микробы управляют нами

Тайные властители жизни на Земле

kiozk originals
Сотрудничество без развития: почему не получается взаимодействие России и ОЭСР Сотрудничество без развития: почему не получается взаимодействие России и ОЭСР

Как Россия могла бы все же получить пользу от контактов с ОЭСР

Forbes
Замок из песка. В Венеции показали «Дюну» Дени Вильнева Замок из песка. В Венеции показали «Дюну» Дени Вильнева

Фантастический фильм Дени Вильнева оказался жертвой завышенных ожиданий

РБК
Охотники-рыболовы на северо-востоке Швеции научились плавить железо около 2200 лет назад Охотники-рыболовы на северо-востоке Швеции научились плавить железо около 2200 лет назад

Археологи обнаружили на двух стоянках свидетельства развитой металлургии

N+1
Шутка провалилась! Как Абрамов, Мирзализаде и другие комики разозлили россиян Шутка провалилась! Как Абрамов, Мирзализаде и другие комики разозлили россиян

Комики, которые прославились не только благодаря шуткам, но и громким скандалам

Cosmopolitan
7 автомобилей с двигателями от... танков! 7 автомобилей с двигателями от... танков!

Автомобили с танковыми двигателями

Популярная механика
Муж и жена спят раздельно: как это сказывается на отношениях в семье Муж и жена спят раздельно: как это сказывается на отношениях в семье

Могут ли супруги спать в разных кроватях?

Psychologies
Будущее на носу Будущее на носу

Репортаж об успехах виртуальной реальности

Maxim
Эль Лисицкий. Опережая время Эль Лисицкий. Опережая время

Как знаменитый авангардист Эль Лисицкий сконструировал мир, в котором мы живем

Культура.РФ
Майя вернулись в город после извержения и построили из туфа пирамиду Майя вернулись в город после извержения и построили из туфа пирамиду

Извержение вулкана позитивно отразилось на социальной интеграции общества майя

N+1
Сиди без еды: 5 бонусов интервального голодания (не считая потери веса) Сиди без еды: 5 бонусов интервального голодания (не считая потери веса)

Рассматриваем систему интервального голодания подробнее

Cosmopolitan
Почему мы соглашаемся на посредственные отношения Почему мы соглашаемся на посредственные отношения

Пока мы не решим наших личных проблем, здоровые отношения нам не светят

Psychologies
Этот предприниматель учился бесплатно в 4 странах  ― как повторить его опыт Этот предприниматель учился бесплатно в 4 странах  ― как повторить его опыт

Образование предпринимателю не нужно, а если и нужно, то лучшее и дорогое?

Inc.
Вопрос, который надо задавать каждый день, и еще 4 способа сохранить отношения Вопрос, который надо задавать каждый день, и еще 4 способа сохранить отношения

Простые правила, которые позволят вам сохранить союз на долгие годы

Cosmopolitan
20 самых смешных мультсериалов для взрослых 20 самых смешных мультсериалов для взрослых

Открой для себя безумный мир анимации, если обычные ситкомы уже приелись

Maxim
Как скрыть шрамы, родинки и раны: остроумные тату реальных людей Как скрыть шрамы, родинки и раны: остроумные тату реальных людей

Тату, которые не просто скрыли несовершенства, а превратили их в изюминку

Cosmopolitan
Что посмотреть и попробовать во Владивостоке. Гид «РБК Стиль» Что посмотреть и попробовать во Владивостоке. Гид «РБК Стиль»

Владивосток: увидеть маяки и мосты, выйти в Японское море и попробовать гребешка

РБК
Каких soft skills не хватает российским предпринимателям Каких soft skills не хватает российским предпринимателям

Какие софт скиллы особенно востребованы в бизнесе и почему

Inc.
Мультсериалы для просмотра запоем Мультсериалы для просмотра запоем

Даем отпор хандре с помощью мультсериалов

GQ
«Темная» сторона общепита: как изменился рынок доставки еды за полтора года пандемии «Темная» сторона общепита: как изменился рынок доставки еды за полтора года пандемии

Как изменились правила игры на рынке общественного питания

Inc.
Не упал — значит, не было Не упал — значит, не было

«А было ли вообще событие, если на нем не упал ни один королевский гвардеец?»

Лиза
Не в коня корм Не в коня корм

Истории людей, которые едят сколько угодно без набора веса, но страдают от этого

Лиза
Почему у человека нет хвоста? Ответ генетиков Почему у человека нет хвоста? Ответ генетиков

У человека и человекообразных обезьян нет хвоста. Почему?

Популярная механика
Худеем по аюрведе Худеем по аюрведе

Уникальная система питания из Древней Индии

Лиза
Советский абьюз Советский абьюз

«Общага» Романа Васьянова, драма о смене эпох

Weekend
За 100 лет до МММ: как рязанский банкир построил финансовую пирамиду в 19 веке и обманул вкладчиков на 12 млн рублей За 100 лет до МММ: как рязанский банкир построил финансовую пирамиду в 19 веке и обманул вкладчиков на 12 млн рублей

Как зародилась первая в России финансовая пирамида

VC.RU
Учат в школе: 9 фактов о подготовке водителей в разных странах мира Учат в школе: 9 фактов о подготовке водителей в разных странах мира

Подготовке водителей в разных странах мира

Вокруг света
Никто не услышит Никто не услышит

Звукоизолирующие межкомнатные двери

Идеи Вашего Дома
Fix Price для кофе Fix Price для кофе

Как бывший топ-менеджер открыл сеть кофеен с фиксированными ценами

Forbes
Часы войны Часы войны

Именно войнам мы обязаны появлением наручных часов

Вокруг света
Открыть в приложении