Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Зачем мы отправляем друг другу откровенные фото Зачем мы отправляем друг другу откровенные фото

Что побуждает заниматься этим женщин и какие мотивы у мужчин?

Psychologies
Все о «Геликах»: обзор версий Mercedes G-Class с ценами Все о «Геликах»: обзор версий Mercedes G-Class с ценами

Все, что вы хотели знать о ценах на «Гелики»

РБК
Девушка над городом Девушка над городом

Катя Шкуро загорает на крыше

Maxim
Ипотека, охрана, наряды: на что и сколько денег тратят Меган Маркл и Гарри Ипотека, охрана, наряды: на что и сколько денег тратят Меган Маркл и Гарри

Рассказываем об основных статьях расходов супругов Меган Маркл и Гарри

Cosmopolitan
Как стать привлекательным работодателем для поколения Z Как стать привлекательным работодателем для поколения Z

Что привлекает молодых специалистов в работодателе?

Inc.
Сотворение пустоты Сотворение пустоты

Конструкции для маскировки вентиляционных каналов

Идеи Вашего Дома
Побег с аэродрома Побег с аэродрома

Циклолеты – «летающие комбайны» – становятся экономичнее квадрокоптеров

Популярная механика
Аксолотль: вечное детство Аксолотль: вечное детство

Аксолотль может размножаться, оставаясь ребенком

Вокруг света
Napster, LimeWire и другие: пиратские сервисы из начала 2000-х, которые сделали музыку доступной Napster, LimeWire и другие: пиратские сервисы из начала 2000-х, которые сделали музыку доступной

Какие были популярные пиратские сервисы 2000-х и как они работали

VC.RU
В окаменелом хряще динозавра возрастом 125 миллионов лет обнаружили клеточное ядро с хроматином В окаменелом хряще динозавра возрастом 125 миллионов лет обнаружили клеточное ядро с хроматином

Вторая находка хроматина в ископаемых остатках позвоночных

N+1
Навраться на неприятности Навраться на неприятности

Алексей Йесод – о том, как бороться с фейковыми новостями в эпоху лучей смерти

Esquire
Эпигенетическую регуляцию в мозге увидели с помощью диеты и МРТ Эпигенетическую регуляцию в мозге увидели с помощью диеты и МРТ

Разработана методика неинвазивной визуализации эпигенетических маркеров в мозге

N+1
Шапочное знакомство: 11 национальных головных уборов Шапочное знакомство: 11 национальных головных уборов

Народная фантазия непобедима

Вокруг света
В Google назвали 9 моделей поведения эффективного лидера В Google назвали 9 моделей поведения эффективного лидера

Что должны делать по-настоящему эффективные люди

Inc.
Эффективная логистика: как применяются технологии телематики в грузоперевозках Эффективная логистика: как применяются технологии телематики в грузоперевозках

Необходимость телематики и перспективы ее развития в транспортной отрасли

Популярная механика
В Гончарной слободе раскопали коронационный стакан из гутного стекла XVIII века В Гончарной слободе раскопали коронационный стакан из гутного стекла XVIII века

Российские археологи обнаружили более 500 артефактов в Гончарной слободе

N+1
Таша Карлюка: Миры, в которые я улетаю Таша Карлюка: Миры, в которые я улетаю

Интервью с Ташей Карлюковой — о том, что такое литературная эмигрантская жизнь

СНОБ
Как понимать Как понимать

Для тех, кто пока не научился понимать Серебренникова

Esquire
«Казалось, что я в гробу и в крышку молотками заколачивают гвозди». Как была устроена карательная психиатрия в СССР «Казалось, что я в гробу и в крышку молотками заколачивают гвозди». Как была устроена карательная психиатрия в СССР

Отрывок из книги «Девятый круг. Одиссея диссидента в психиатрическом ГУЛАГе»

СНОБ
Британский авианосец Queen Elisabeth: королева глобальной политики Британский авианосец Queen Elisabeth: королева глобальной политики

Авианосец Queen Elisabeth — самый большой в британской истории боевой корабль

Популярная механика
Популярные нарушения в городе, за которые лишают прав. Подробности Популярные нарушения в городе, за которые лишают прав. Подробности

Нарушения автомобилистов, которые могут привести к лишению прав

РБК
Дым, в котором я живу Дым, в котором я живу

Если есть в кармане пачка сигарет — значит все плохо

Men’s Health
Как учится поколение Z? Заменит ли YouTube университеты? Спикеры фестиваля G8 рассуждают о будущем образования Как учится поколение Z? Заменит ли YouTube университеты? Спикеры фестиваля G8 рассуждают о будущем образования

Что происходит с образованием в России прямо сейчас?

Esquire
Система разгрузочных дней: так ли они эффективны Система разгрузочных дней: так ли они эффективны

Разгрузочные дни – отличный способ держать себя в форме

GQ
Как узнать размеры телевизора в сантиметрах: диагональ, ширина, высота Как узнать размеры телевизора в сантиметрах: диагональ, ширина, высота

Как понять, что телевизор с определенной диагональю поместится на тумбочку?

CHIP
Судьба барабанщика Судьба барабанщика

24 августа 2021 года смолкла барабанная дробь Чарльза Роберта (Чарли) Уоттса

Playboy
Жители Новой Гвинеи начали выращивать птенцов казуаров в неволе 17,8 тысячи лет назад Жители Новой Гвинеи начали выращивать птенцов казуаров в неволе 17,8 тысячи лет назад

Жители Новой Гвинеи уже 17,8 тысячи лет назад похищали из гнезд яйца казуаров

N+1
Голодание: можно ли стать здоровее, отказываясь от еды? Голодание: можно ли стать здоровее, отказываясь от еды?

Современная наука ищет ответ на вопрос: может ли голодание принести пользу

Здоровье
Русский «Улисс»: каким получился фильм «Петровы в гриппе» Серебренникова Русский «Улисс»: каким получился фильм «Петровы в гриппе» Серебренникова

Критик Ярослав Забалуев делится впечатлениями о фильме «Петровы в гриппе»

РБК
Время когерентности молекулярных кубитов повысили на порядок Время когерентности молекулярных кубитов повысили на порядок

Физики смогли увеличить время когерентности кубитов

N+1
Открыть в приложении