Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

100 самых сексуальных женщин страны: 52-1 100 самых сексуальных женщин страны: 52-1

Итоговый рейтинг «100 самых сексуальных женщин страны – 2019»

Maxim
Атомная бомба нацистов: как ученые изучают урановые кубы Второй мировой Атомная бомба нацистов: как ученые изучают урановые кубы Второй мировой

Немецкие разработки ядерного оружия во время Второй мировой покрыты тайной

Популярная механика
Витамины для мужчин: гид по продуктам Витамины для мужчин: гид по продуктам

Как выбрать необходимые витамины мужчинам

GQ
Инфоцыгане или спасители жизней? Кто они – Елена Блиновская и другие инстафеи Инфоцыгане или спасители жизней? Кто они – Елена Блиновская и другие инстафеи

Кто такие инстафеи?

Cosmopolitan
8 лучших ролей Моники Белуччи 8 лучших ролей Моники Белуччи

Мы решили вспомнить лучшие роли Моники Белуччи

Maxim
Стресс налицо Стресс налицо

Хроническая тревожность и эмоциональное выгорание — бич нашего времени

Robb Report
Госприложение для защиты от спама в Китае «сдавало» властям читателей Bloomberg и других иностранных сайтов с новостями Госприложение для защиты от спама в Китае «сдавало» властям читателей Bloomberg и других иностранных сайтов с новостями

Через антифрод-приложения китайская полиция допрашивает граждан

VC.RU
Через Вселенную Через Вселенную

Посетить иные миры и звездные системы — что может быть увлекательнее!

Вокруг света
Пророк нового человечества: что думали писатели о Льве Толстом Пророк нового человечества: что думали писатели о Льве Толстом

Высказывания современников Толстого — о писателе, его работе и значении для мира

Esquire
Гуайява, сладкий плод с экзотическим ароматом Гуайява, сладкий плод с экзотическим ароматом

История экзотического фрукта гуавы

Наука и жизнь
История вопроса: рекрутская повинность История вопроса: рекрутская повинность

Когда появилась рекрутская повинность и выражение «забрить в солдаты»

Культура.РФ
Актер. Иван Янковский Актер. Иван Янковский

Как внук Олега Янковского на глазах превращается в актера Ивана Янковского

GQ
3 вещи, которые всегда делает любящий мужчина 3 вещи, которые всегда делает любящий мужчина

Как понять, что твой мужчина тебя действительно полюбил?

VOICE
Российские археологи обнаружили погребение знатного воина черняховской культуры Российские археологи обнаружили погребение знатного воина черняховской культуры

Российские археологи обнаружили редкую находку черняховской культуры

N+1
Самые дурацкие афродизиаки в истории человечества Самые дурацкие афродизиаки в истории человечества

Безумные афродизиаки. Ведь чем страннее, тем волшебнее

Maxim
Как объединить слои в Фотошопе: 5 способов Как объединить слои в Фотошопе: 5 способов

Рассказываем, как и зачем объединять слои в проектах в Фотошоп

CHIP
Imagine Джона Леннона как отражение главных идей Конфуция. Отрывок из книги Imagine Джона Леннона как отражение главных идей Конфуция. Отрывок из книги

Чему стоит поучиться у Марка Аврелия, Руссо, Ницше и других мыслителей

СНОБ
Спасибо, папа Спасибо, папа

С папой в детстве я встречалась редко, хотя номинально он еще жил дома

Seasons of life
«Шан-Чи и легенда десяти колец» — самый веселый фильм Marvel. Ему не хватает лишь Джеки Чана «Шан-Чи и легенда десяти колец» — самый веселый фильм Marvel. Ему не хватает лишь Джеки Чана

«Шан-Чи и легенда десяти колец» — кинокомикс, основанный на азиатских мифах

Esquire
Музыкант. Feduk Музыкант. Feduk

Feduk записал альбом, нагруженный хитами, – и опять запал всем в душу

GQ
Бумажная волокита Бумажная волокита

Полезные идеи по обмену, сбору и переработке ненужных книг, газет и журналов

Лиза
Как женщины-руководители меняют подход к управлению командой Как женщины-руководители меняют подход к управлению командой

Пять женщин рассказали, влияет ли пол на стиль управления в компании

СНОБ
Марс и Венера Марс и Венера

Телеведущая Юлия Барановская вышла в открытый космос в Иордании

Tatler
Ботинки-пальцы и криосауна: на что тратит деньги Рената Литвинова Ботинки-пальцы и криосауна: на что тратит деньги Рената Литвинова

Кольца, платья, маски — выясняем, во что вкладывает деньги Рената Литвинова

РБК
Проверка на прочность: тест-драйв Chevrolet Camaro 1967 года Проверка на прочность: тест-драйв Chevrolet Camaro 1967 года

Ретромашина, о которой в далеких 1960-х могли мечтать только самые продвинутые

Вокруг света
Чистая правда Чистая правда

А как работает и что вообще из себя представляет детокс-косметика?

Лиза
Урал Хазиев. Все это рок-н-ролл Урал Хазиев. Все это рок-н-ролл

Урал Хазиев — первый продюссер «ДДТ», хиппи из Уфы и дизайнер одежды

Коллекция. Караван историй
Французская писательница Кристин Анго издала серию книг об инцесте с отцом Французская писательница Кристин Анго издала серию книг об инцесте с отцом

Французская писательница Кристин Анго написала серию книг об инцесте

Cosmopolitan
Из Ирана с иронией: люди, ислам, диковинные способы пить и заниматься сексом Из Ирана с иронией: люди, ислам, диковинные способы пить и заниматься сексом

Мы отправили нашего корреспондента в одну из самых неуютных стран мира

Maxim
Премьера! Тизер об отношениях героев Тимоти Шаламе и Зендаи в «Дюне» Премьера! Тизер об отношениях героев Тимоти Шаламе и Зендаи в «Дюне»

Дени Вильнев, Тимоти Шаламе и Зендая — о съемках «Дюны»

Cosmopolitan
Открыть в приложении