Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Вечные девственники: 6 исторических личностей, которых не интересовал секс Вечные девственники: 6 исторических личностей, которых не интересовал секс

Эти люди точно знали, как сублимировать эффективно

Cosmopolitan
Как писать эротические сообщения девушке Как писать эротические сообщения девушке

Негласные правила сексуальной переписки

Maxim
Постоянная тонкой структуры выросла десятикратно в спиновом льду Постоянная тонкой структуры выросла десятикратно в спиновом льду

Физики смоделировали коллективные эффекты в спиновом льде

N+1
Спортсмены. Наши чемпионы Спортсмены. Наши чемпионы

Они привезли олимпийское золото несмотря на то, что выступали без флага

GQ
Мужской фактор Мужской фактор

Причина бесплодия может быть не только в женщине, но и в мужчине

Лиза
Свой на чужом рынке Свой на чужом рынке

Как подойти к запуску продукта на экспорт

Агроинвестор
Как выглядят звёздные луки на обычной женщине Как выглядят звёздные луки на обычной женщине

Пышные формы и правда мало что меняют, если наряд подобран правильно

Cosmopolitan
Горные зебры приняли пылевые ванны и создали оазисы в сухой саванне Горные зебры приняли пылевые ванны и создали оазисы в сухой саванне

На местах пылевых купаний зебр лучше растут однолетние растения

N+1
Датский археолог-любитель нашел крупный клад золотых медальонов возрастом 1500 лет Датский археолог-любитель нашел крупный клад золотых медальонов возрастом 1500 лет

Мужчина раскопал 22 артефакта, общий вес которых составляет 945 грамм

N+1
Одомашнивание: новый цикл Одомашнивание: новый цикл

До конца нынешнего десятилетия произойдет очередная революция

Популярная механика
Успеть за пятнадцать минут Успеть за пятнадцать минут

Город — источник стресса. Можно ли это изменить?

AD
Сладкая Ава Макс: эффектные фото новой поп-иконы Сладкая Ава Макс: эффектные фото новой поп-иконы

История жизни, фото и актуальная информация о личной жизни Авы Макс

Playboy
Опять двойка: Водянова, Керри и другие звезды, которые плохо учились в школе Опять двойка: Водянова, Керри и другие звезды, которые плохо учились в школе

Чтобы достичь успеха в жизни, совсем не обязательно быть отличником в школе

Cosmopolitan
«Роскосмос» круче Илона Маска. Объясняем почему «Роскосмос» круче Илона Маска. Объясняем почему

Запомните этот твит: «Роскосмос» жив. «Роскосмос» круче Илона Маска

Inc.
Эрик Картман Эрик Картман

Правила жизни Эрика Картмана

Esquire
Гадать нельзя исследовать: откуда в современной России появилась мода на мистицизм Гадать нельзя исследовать: откуда в современной России появилась мода на мистицизм

Как любовь к мистике пробирается в массы

Forbes
Осеннее равноденствие — 2021: как правильно подготовиться к долгой зиме Осеннее равноденствие — 2021: как правильно подготовиться к долгой зиме

В осенней части года тоже есть свое очарование и прелесть

Cosmopolitan
Исторический экскурс: как наши предки следили за гигиеной Исторический экскурс: как наши предки следили за гигиеной

Как изменялись средства личной женской гигиены?

Популярная механика
Госприложение для защиты от спама в Китае «сдавало» властям читателей Bloomberg и других иностранных сайтов с новостями Госприложение для защиты от спама в Китае «сдавало» властям читателей Bloomberg и других иностранных сайтов с новостями

Через антифрод-приложения китайская полиция допрашивает граждан

VC.RU
Способны ли коты любить? Мнение ученых Способны ли коты любить? Мнение ученых

Что он имеет в виду, когда мурчит у тебя на груди и перебирает лапками?

Maxim
Как стресс и волнения сказываются на состоянии кожи Как стресс и волнения сказываются на состоянии кожи

Раздражения, шелушения, краснота — почему количество жалоб на кожу возросло

Psychologies
Ирбитский блюз: история легендарного советского мотоцикла «Урал» Ирбитский блюз: история легендарного советского мотоцикла «Урал»

«Урал» — пожалуй, главное имя советского мотопрома

Вокруг света
Да, я Хофманнита Да, я Хофманнита

HOFMANNITA — о женской хип-хоп-сцене, рехабе и чувстве недооцененности

Собака.ru
Вечность между нами Вечность между нами

Художник Чжан Хуань готовится к большому путешествию на другие планеты

Harper's Bazaar
Ты должна это увидеть: 7 незабываемых авторских фильмов Ты должна это увидеть: 7 незабываемых авторских фильмов

Фильмы, которые ты точно никогда не забудешь!

Cosmopolitan
Активируемые воспалением стволовые клетки облегчили состояние мышей с ревматоидным артритом Активируемые воспалением стволовые клетки облегчили состояние мышей с ревматоидным артритом

Стволовые клетки оказались эффективнее стандартной терапии от артрита

N+1
Салман Рушди: «Кишот». Сатирический роман современного классика Салман Рушди: «Кишот». Сатирический роман современного классика

Отрывок из первой главы сатирического романа британского прозаика Салмана Рушди

СНОБ
5 способов полюбить осень 5 способов полюбить осень

Осень совсем не дает поводов для радости? Все в глазах смотрящего

Psychologies
Ракетоплан для инвестора: как суборбитальные полеты изменят рынок космических услуг Ракетоплан для инвестора: как суборбитальные полеты изменят рынок космических услуг

Пока суборбитальные полеты доступны миллиардерам-энтузиастам

Forbes
Женщина тратит почти полмиллиона рублей на наряды для голубей Женщина тратит почти полмиллиона рублей на наряды для голубей

Мегги Джонсон тратит в год полмиллиона рублей на содержание четырех голубей

Cosmopolitan
Открыть в приложении