Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Как фотографировать девушек Как фотографировать девушек

Звезда феминистского искусства и лицо Calvin Klein наводит объектив на себя

Playboy
Если это удобно Если это удобно

Комфортная мода победила. Надолго ли?

Cosmopolitan
6 конспирологических теорий о катастрофах 11 сентября 2001 года 6 конспирологических теорий о катастрофах 11 сентября 2001 года

Мифы вокруг теракта 11 сентября в США

Популярная механика
«Я и Брэдли очень строгие»: Ирина Шейк о воспитании 4-летней дочери от Купера «Я и Брэдли очень строгие»: Ирина Шейк о воспитании 4-летней дочери от Купера

Ирина Шейк рассказала об отношениях с бывшим возлюбленным и их ребенком

Cosmopolitan
Кто мочалок командир? Кто мочалок командир?

Тренды в меблировке санузла

Идеи Вашего Дома
Грамота, которая нашлась дважды Грамота, которая нашлась дважды

История берестяной грамоты, найденной 70 лет назад и пропавшей на полвека

N+1
Жутко красиво: какими были бьюти-инструменты в эпоху наших бабушек и прабабушек Жутко красиво: какими были бьюти-инструменты в эпоху наших бабушек и прабабушек

На что шли наши предшественницы ради красоты в совсем недавнем прошлом?

Cosmopolitan
Негатив, конфликты, боты: как работает управление репутацией в интернете Негатив, конфликты, боты: как работает управление репутацией в интернете

Что такое работа с репутацией

Inc.
Соседи из будущего Соседи из будущего

Профессии, которые в будущем могут принадлежать роботам

Вокруг света
Эволюция женской груди: от палеолитической Венеры до наших дней Эволюция женской груди: от палеолитической Венеры до наших дней

Предлагаем тебе взглянуть на историю человечества с этого ракурса!

Maxim
Авангард с огоньком Авангард с огоньком

Игорь Гулин об успешной попытке по-новому осветить раннесоветскую культуру

Weekend
«Мне было 4». Женщина рассказала, что ее насиловали в детстве, спустя 25 лет «Мне было 4». Женщина рассказала, что ее насиловали в детстве, спустя 25 лет

Келли Фелстед рассказала, что подвергалась насилию со стороны друга семьи

Cosmopolitan
Рестораторы. Lucky Group Рестораторы. Lucky Group

Трио рестораторов Lucky Group – и их маленькая революция в гастрономическом мире

GQ
Мужской фактор Мужской фактор

Причина бесплодия может быть не только в женщине, но и в мужчине

Лиза
Учимся работать с цветом в образе: 11 ярких сочетаний, которые стоит попробовать Учимся работать с цветом в образе: 11 ярких сочетаний, которые стоит попробовать

Грамотно подобранные цвета могут кардинально изменить образ

Cosmopolitan
Что такое комплексы и как их преодолеть Что такое комплексы и как их преодолеть

«У тебя комплексы» — такой диагноз мы нередко ставим друг другу и самим себе

Psychologies
Как женщины-руководители меняют подход к управлению командой Как женщины-руководители меняют подход к управлению командой

Пять женщин рассказали, влияет ли пол на стиль управления в компании

СНОБ
Татьяна Борзых: Татьяна Борзых:

Ваня Бортник — это был человек редкой породы и верности

Коллекция. Караван историй
Разрушительный тоталитаризм. Исмаэль Кадарэ: Дворец сновидений Разрушительный тоталитаризм. Исмаэль Кадарэ: Дворец сновидений

Отрывок из книги Исмаэля Кадарэ о вымышленном тоталитарном государстве

СНОБ
Превращаем учебу в хобби: советы, как учиться интересно Превращаем учебу в хобби: советы, как учиться интересно

Эффективные советы для интересного прохождения обучающих онлайн курсов

Популярная механика
«У нас дочь и замок в Англии, но мы не женаты»: как относятся к браку в Европе «У нас дочь и замок в Англии, но мы не женаты»: как относятся к браку в Европе

Что в Европе думают о замужестве?

Cosmopolitan
Избранные моменты из скандального интервью Дмитрия Гордона и Моргенштерна Избранные моменты из скандального интервью Дмитрия Гордона и Моргенштерна

Лучшие цитаты из удивительной беседы Гордона и Моргенштерна

Maxim
Петровский домик Петровский домик

Александр Петров очень ценит атрибуты загородной жизни

AD
Хлебное место Хлебное место

В Турции по-прежнему хлеб всему голова

Вокруг света
Найден способ сделать перовскитовые солнечные батареи еще эффективнее Найден способ сделать перовскитовые солнечные батареи еще эффективнее

Ученые Нового физтеха ИТМО нашли способ повысить эффективность солнечных батарей

Популярная механика
Бешенство: как защитить себя от смертельно опасной болезни Бешенство: как защитить себя от смертельно опасной болезни

Самую важная информация о бешенстве

РБК
Неожиданно не за что ругать, но шпионить с ними слишком легко: мнения о первых очках с камерами от Facebook и Ray-Ban Неожиданно не за что ругать, но шпионить с ними слишком легко: мнения о первых очках с камерами от Facebook и Ray-Ban

Какими получились умные очки Ray-Ban и Facebook

VC.RU
Буря в пустыне Буря в пустыне

Тимоти Шаламе и Дени Вильнёв — о страхе, жаре и проваленных пробах

Cosmopolitan
Ученые выяснили, как формируются удивительные Ученые выяснили, как формируются удивительные

Ученые наконец-то выяснили, как возникают такие образования, как "дзэн-камни"

Популярная механика
Родина воды Родина воды

В названии Твери слышен плеск

Seasons of life
Открыть в приложении