Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Ню в невесомости Ню в невесомости

Анна Грачевская – девушка явно не робкого десятка

Playboy
Мужской фактор Мужской фактор

Причина бесплодия может быть не только в женщине, но и в мужчине

Лиза
Как не стать частью ботнета: советы по защите роутеров от специалистов по безопасности Infosec, Qrator Labs и «Р-Техно» Как не стать частью ботнета: советы по защите роутеров от специалистов по безопасности Infosec, Qrator Labs и «Р-Техно»

Частью ботнета может стать каждый, а его жертвой — сервер любой компании

VC.RU
Ноль реакции: кому и когда нужна гипоаллергенная диета Ноль реакции: кому и когда нужна гипоаллергенная диета

В чем суть гипоаллергенной диеты и для чего она нужна

РБК
Разрыв шаблона Разрыв шаблона

Крокодилы оказались птицами, а киты — родственниками лошадей

Вокруг света
Британский авианосец Queen Elisabeth: королева глобальной политики Британский авианосец Queen Elisabeth: королева глобальной политики

Авианосец Queen Elisabeth — самый большой в британской истории боевой корабль

Популярная механика
«Людей не надо выбрасывать на помойку». Иван Вырыпаев — о детях и Детских деревнях SOS «Людей не надо выбрасывать на помойку». Иван Вырыпаев — о детях и Детских деревнях SOS

Режиссер Иван Вырыпаев — что такое настоящая семья и как ее построить

СНОБ
Кадры решают Кадры решают

Кинообразы, изменившие мужской стиль

Men’s Health
Кто мочалок командир? Кто мочалок командир?

Тренды в меблировке санузла

Идеи Вашего Дома
Месячные в 20, 30, 40 лет: что нормально, а что должно насторожить Месячные в 20, 30, 40 лет: что нормально, а что должно насторожить

Выясняем, как должны протекать месячные в разном возрасте

Cosmopolitan
Холодные молекулы в трехмерном газе защитили с помощью электрического поля Холодные молекулы в трехмерном газе защитили с помощью электрического поля

Изучение квантовых газов открывает дорогу к наблюдению необычных эффектов

N+1
Массаж гуаша для лица: 3 правила омоложения кожи Массаж гуаша для лица: 3 правила омоложения кожи

Китайская техника массажа гуаша творит чудеса с кожей лица

Psychologies
Редкие сорта хлеба: «буханки» УАЗа, которые мало кто видел Редкие сорта хлеба: «буханки» УАЗа, которые мало кто видел

УАЗ — это звучит гордо, даже если это «буханка»

Maxim
Настоящие гиганты: 23 самых больших животных в мире (угадай, кто самый огромный) Настоящие гиганты: 23 самых больших животных в мире (угадай, кто самый огромный)

Список самых длинных и тяжелых обитателей суши и морей

Playboy
В Африке зафиксировали распространение устойчивого к лекарствам малярийного плазмодия В Африке зафиксировали распространение устойчивого к лекарствам малярийного плазмодия

Малярийный плазмодий встречается в Азии, но в Африке появился независимо

N+1
Ледниковый период: 7 проблем со здоровьем, из-за которых ты всё время мерзнешь Ледниковый период: 7 проблем со здоровьем, из-за которых ты всё время мерзнешь

Что делать, если ты все время мерзнешь, и нужно ли идти с этой проблемой к врачу

Cosmopolitan
Салман Рушди: «Кишот». Сатирический роман современного классика Салман Рушди: «Кишот». Сатирический роман современного классика

Отрывок из первой главы сатирического романа британского прозаика Салмана Рушди

СНОБ
Краткая (очень) история секса в российском кино Краткая (очень) история секса в российском кино

Секс в отечественном кино: поворотные моменты и фильмы

РБК
В Италии нашли самую большую коллекцию костяных орудий возрастом 400 тысяч лет В Италии нашли самую большую коллекцию костяных орудий возрастом 400 тысяч лет

Древние люди систематически обрабатывали останки слонов

N+1
Моника Белуччи: «Любая женщина мечтает примерить роль проститутки» Моника Белуччи: «Любая женщина мечтает примерить роль проститутки»

Сегодня исполняется неважно сколько лет Монике Белуччи. Праздничная фотосессия!

Maxim
В пазырыкском могильнике нашли погребение в каменном ящике и четыре черепа животных В пазырыкском могильнике нашли погребение в каменном ящике и четыре черепа животных

Алтайский археолог представил результаты раскопок кургана железного века

N+1
В окаменелом хряще динозавра возрастом 125 миллионов лет обнаружили клеточное ядро с хроматином В окаменелом хряще динозавра возрастом 125 миллионов лет обнаружили клеточное ядро с хроматином

Вторая находка хроматина в ископаемых остатках позвоночных

N+1
Криптобудущее Криптобудущее

Жизненный цикл цивилизаций и наступающая эпоха свободы

Популярная механика
Красный принадлежит Coca-Cola, а голубой — Tiffany: как устроено единоличное «владение» цветом Красный принадлежит Coca-Cola, а голубой — Tiffany: как устроено единоличное «владение» цветом

Как компании регистрировали цвета как торговую марку

VC.RU
MAXIM рецензирует самый обсуждаемый российский фильм года «Петровы в гриппе» MAXIM рецензирует самый обсуждаемый российский фильм года «Петровы в гриппе»

«Петровы в гриппе» — не фильм, а квинтэссенция всего, что ты любишь в нашем кино

Maxim
Ваши отношения с едой Ваши отношения с едой

Как вы обращаетесь с едой и как привести отношения к гармонии?

Домашний Очаг
Грамота, которая нашлась дважды Грамота, которая нашлась дважды

История берестяной грамоты, найденной 70 лет назад и пропавшей на полвека

N+1
Инопланетяне в пустыне: каким получился десятый сезон Инопланетяне в пустыне: каким получился десятый сезон

Каким получился десятый сезон "Американской истории ужасов"

Esquire
Сотрудничество без развития: почему не получается взаимодействие России и ОЭСР Сотрудничество без развития: почему не получается взаимодействие России и ОЭСР

Как Россия могла бы все же получить пользу от контактов с ОЭСР

Forbes
Артем Быстров: «Застрять в отрицательном амплуа я не боюсь» Артем Быстров: «Застрять в отрицательном амплуа я не боюсь»

Актер Артем Быстров, исполнивший роль в новом сериале «Контейнер»

Grazia
Открыть в приложении