Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Пять лайфаков, которые облегчат работу с Windows Пять лайфаков, которые облегчат работу с Windows

Мы собрали хитрости, которые помогут сделать работу с Windows более комфортной

Популярная механика
Как выглядели бы постаревшие звезды в своих фильмах сейчас? (Немного грустная галерея) Как выглядели бы постаревшие звезды в своих фильмах сейчас? (Немного грустная галерея)

Ничто так не демонстрирует быстротечность времени, как современные лица звезд

Maxim
Как отмыть духовку до блеска: простые домашние способы Как отмыть духовку до блеска: простые домашние способы

Как помыть духовку в домашних условиях

VOICE
5 компанейских пород кошек, больше похожих на собак 5 компанейских пород кошек, больше похожих на собак

Оказывается, среди кошек есть настоящие друзья человека

Maxim
Как прекратить влюбляться в «плохих» Как прекратить влюбляться в «плохих»

Можно ли прекратить испытывать хроническое влечение к тем, с кем нам так плохо?

Psychologies
«Витрувианский человек»: мера всех вещей «Витрувианский человек»: мера всех вещей

«Самым известным рисунком в мире» стал не предназначенный для публики набросок

Вокруг света
В Сибири вывели новый сорт картофеля В Сибири вывели новый сорт картофеля

Ученые вывели новые перспективный сорт картофеля с большим содержанием крахмала

Популярная механика
Урс лепки Урс лепки

Урс Фишер, «Большой глиной № 4», автор отвечает на наболевшие вопросы

Harper's Bazaar
«Казалось, что я в гробу и в крышку молотками заколачивают гвозди». Как была устроена карательная психиатрия в СССР «Казалось, что я в гробу и в крышку молотками заколачивают гвозди». Как была устроена карательная психиатрия в СССР

Отрывок из книги «Девятый круг. Одиссея диссидента в психиатрическом ГУЛАГе»

СНОБ
Обманщица, эгоистка, истеричка: главные недостатки твоего знака зодиака Обманщица, эгоистка, истеричка: главные недостатки твоего знака зодиака

Ты могла бы распознать свой самый большой недостаток и исправить его?

Cosmopolitan
Счастье из воздуха Счастье из воздуха

В светской Москве новый тренд — дышать газом

Tatler
Владимир Меньшов. С Верой, надеждой, любовью Владимир Меньшов. С Верой, надеждой, любовью

Вспоминаем Владимира Меньшова

Коллекция. Караван историй
Ума Турман написала колонку против закона о запрете абортов в Техасе. Она призналась, что в подростковом возрасте ей пришлось прервать беременность Ума Турман написала колонку против закона о запрете абортов в Техасе. Она призналась, что в подростковом возрасте ей пришлось прервать беременность

Ума Турман выступила против принятого в Техасе закона о запрете абортов

Esquire
Почему клюква — суперфуд. 5 фактов Почему клюква — суперфуд. 5 фактов

Рассказываем о свойствах клюквы - полезных и не очень

РБК
«Андрюша» — брат «Катюши»: история реактивного миномета БМ-31 «Андрюша» — брат «Катюши»: история реактивного миномета БМ-31

Ближайший родственник «Катюши» — родной брат, «Андрюша»

Maxim
На лице написано На лице написано

Чем помогут косметологи, если нужно добиться внимания окружающих

Tatler
5 ошибок Сергея Рыжикова, сооснователя «Битрикс24» и «1С-Битрикс» 5 ошибок Сергея Рыжикова, сооснователя «Битрикс24» и «1С-Битрикс»

О просчетах, которые Сергей Рыжиков совершил за время существования компании

Inc.
Создал ледовый комбайн в 50, а вместе с ним и рынок таких машин, который сразу захватил — это изобретатель Фрэнк Замбони Создал ледовый комбайн в 50, а вместе с ним и рынок таких машин, который сразу захватил — это изобретатель Фрэнк Замбони

Почему ледозаливочные машины других производителей по ошибке называют «Замбони»

VC.RU
Как не разочароваться в морском отдыхе на Мальдивах Как не разочароваться в морском отдыхе на Мальдивах

Мальдивы: на что обратить внимание, чтобы не испортить отпуск

РБК
Разлив озер внутри кратеров на древнем Марсе вызывал огромные наводнения: новое исследование Разлив озер внутри кратеров на древнем Марсе вызывал огромные наводнения: новое исследование

Марс был настолько влажным, что его ландшафт изменялся от проточной воды

Популярная механика
Большой перемене 19 лет! Большой перемене 19 лет!

"Большая перемена": команда, студенты и способы поддержать фонд

ПУСК
Дмитрий Бертман: Дмитрий Бертман:

Режиссер Дмитрий Бертман — о работе в театре, "Геликон-опере" и спектаклях

Караван историй
В Гончарной слободе раскопали коронационный стакан из гутного стекла XVIII века В Гончарной слободе раскопали коронационный стакан из гутного стекла XVIII века

Российские археологи обнаружили более 500 артефактов в Гончарной слободе

N+1
От почтовых голубей до смарт-часов: как развивалась связь От почтовых голубей до смарт-часов: как развивалась связь

Как начиналась история связи?

Популярная механика
Репрограммирование клеток частично восстановило сердце мышей после инфаркта Репрограммирование клеток частично восстановило сердце мышей после инфаркта

Ученые помогли мышам отрастить сердечную мышцу после инфаркта

N+1
Настройки яркости Настройки яркости

Что нужно делать родителям, чтобы их ребенок стал талантливым?

Harper's Bazaar
Волшебный фонарь Волшебный фонарь

Варвара Мельникова — о жизни большого экрана в мире пандемии и урбанистике

Vogue
«Дом или тюрьма»: почему птицы не улетают из зоопарков «Дом или тюрьма»: почему птицы не улетают из зоопарков

Почему свободные от сеток утки, гуси и лебеди не меняют место жительства

Вокруг света
Все побежали, и я побежал: почему бег стал так популярен? Все побежали, и я побежал: почему бег стал так популярен?

Почему число бегунов стремительно растет?

Psychologies
«Тебе нужно к психологу!»: как уговорить близкого обратиться к специалисту «Тебе нужно к психологу!»: как уговорить близкого обратиться к специалисту

Как уговорить близкого человека, чье состояние нас беспокоит, пойти к психологу

Psychologies
Открыть в приложении