Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Древнейшая жизнь на Земле: биологическая революция Древнейшая жизнь на Земле: биологическая революция

С образования нашей планеты до зарождения первых форм жизни прошло мало времени

Популярная механика
Орёл и решка в Риме Орёл и решка в Риме

Коллекционные монеты стабильно растут в цене, вызывая интерес даже у ювелиров

Robb Report
Поиск сокровищ: как предвидеть потребительские тренды Поиск сокровищ: как предвидеть потребительские тренды

Где искать тренды и как их предвидеть?

Inc.
Выделиться из потока: как привлечь внимание венчурного инвестора холодным письмом Выделиться из потока: как привлечь внимание венчурного инвестора холодным письмом

На чем нужно заострить внимание инвестора, чтобы выделиться в потоке проектов

Forbes
«Шан-Чи и легенда десяти колец» — самый веселый фильм Marvel. Ему не хватает лишь Джеки Чана «Шан-Чи и легенда десяти колец» — самый веселый фильм Marvel. Ему не хватает лишь Джеки Чана

«Шан-Чи и легенда десяти колец» — кинокомикс, основанный на азиатских мифах

Esquire
Гид по эротической переписке Гид по эротической переписке

Влияет ли эротическая переписка на качество сексуальной жизни?

Maxim
Залечили своих детей до смерти: самые ужасные случаи синдрома Мюнхгаузена Залечили своих детей до смерти: самые ужасные случаи синдрома Мюнхгаузена

Резонансные случаи делегированного синдрома Мюнхгаузена.

Cosmopolitan
Актеры, которые так сыграли роль, что никто другой не справился бы! Актеры, которые так сыграли роль, что никто другой не справился бы!

Представить другого актера в этих образах совершенно невозможно

Cosmopolitan
Флюороз: инструкция по спасению «пятнистых» зубов Флюороз: инструкция по спасению «пятнистых» зубов

Что собой представляет флюороз и как предупредить это некрасивое заболевание?

Cosmopolitan
От Nike к Uniqlo: как теннисист Роджер Федерер заработал $1 млрд на сотрудничестве с брендами От Nike к Uniqlo: как теннисист Роджер Федерер заработал $1 млрд на сотрудничестве с брендами

Благодаря умению общаться со спонсорами Федерер продолжит зарабатывать миллионы

VC.RU
5 фильмов о неизбежности судьбы 5 фильмов о неизбежности судьбы

Истории о том, что финал уже определен, как бы мы ни сопротивлялись

GQ
Пищевая интуиция Пищевая интуиция

Можно ли положиться на свою интуицию при выборе еды

Лиза
Непорочное зачатие: невеста, потерявшая жениха в день свадьбы, беременна Непорочное зачатие: невеста, потерявшая жениха в день свадьбы, беременна

Жених Кейт погиб в автокатастрофе в ночь перед свадьбой

Cosmopolitan
Уберите детей от экранов! Экранизации самых скандальных романов в истории Уберите детей от экранов! Экранизации самых скандальных романов в истории

Как экранизировали самые скандальные литературные произведения

Cosmopolitan
Искусственный интеллект посоревновался с мужчинами за свидание с девушкой Искусственный интеллект посоревновался с мужчинами за свидание с девушкой

Может ли в реальности возникнуть любовь между человеком и роботом?

Psychologies
Будущее на носу Будущее на носу

Репортаж об успехах виртуальной реальности

Maxim
Как взрыв сверхновой поможет точнее измерить скорость расширения Вселенной Как взрыв сверхновой поможет точнее измерить скорость расширения Вселенной

Как взрыв сверхновой поможет учёным лучше понять Вселенную

Популярная механика
Клаудиа Кардинале: почему одна из самых красивых актрис в мире была против брака Клаудиа Кардинале: почему одна из самых красивых актрис в мире была против брака

Почему Клаудиа Кардинале не стремилась замуж

Cosmopolitan
Костюм для фремена Костюм для фремена

Можно ли сделать дистикомб, как в «Дюне»?

N+1
«Красотка»,«Друзья»,«Мулен Руж!»: какими бы получись дети у культовых кинопар «Красотка»,«Друзья»,«Мулен Руж!»: какими бы получись дети у культовых кинопар

Мы немного пофантазировали на тему совместного будущего пар из любимых фильмов

Cosmopolitan
Как перестать быть вежливым и полюбить безумное порно Как перестать быть вежливым и полюбить безумное порно

О реконструкции непристойности в фильме Раду Жуде «Безумное кино для взрослых»

Weekend
«Люси»: готовится к запуску первая миссия NASA по изучению троянских астероидов Юпитера «Люси»: готовится к запуску первая миссия NASA по изучению троянских астероидов Юпитера

Появилась возможность отправить космический корабль к троянским астроидам

Популярная механика
Дом искусства Дом искусства

Исторический палаццо во Флоренции, наполненный предметами искусства

SALON-Interior
Салман Рушди: «Кишот». Сатирический роман современного классика Салман Рушди: «Кишот». Сатирический роман современного классика

Отрывок из первой главы сатирического романа британского прозаика Салмана Рушди

СНОБ
Музыка света — как связаны лазеры, наночастицы и музыкальные инструменты Музыка света — как связаны лазеры, наночастицы и музыкальные инструменты

Физики открыли новый физический эффект, связанный со светом

Популярная механика
Генетическое вмешательство продлило жизнь очень старым червям Генетическое вмешательство продлило жизнь очень старым червям

Исследователям удалось продлить срок жизни нематод в два раза

N+1
Три дня Бородина Три дня Бородина

История Бородинской битвы

Вокруг света
Учиться или играть? И то, и другое Учиться или играть? И то, и другое

«Учиться – скучно». Что может возразить школа на этот упрёк учеников?

Домашний Очаг
Семейные традиции: по чьему сценарию мы живем и как его изменить? Семейные традиции: по чьему сценарию мы живем и как его изменить?

Мы думаем, что наша жизнь — это результат наших решений и действий, так ли это?

Psychologies
Охотники-рыболовы на северо-востоке Швеции научились плавить железо около 2200 лет назад Охотники-рыболовы на северо-востоке Швеции научились плавить железо около 2200 лет назад

Археологи обнаружили на двух стоянках свидетельства развитой металлургии

N+1
Открыть в приложении