История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Прожекторперисхилтон: история Пэрис Хилтон и феномен современной селебрити-культуры Прожекторперисхилтон: история Пэрис Хилтон и феномен современной селебрити-культуры

Как Пэрис Хилтон повлияла на современную культуру и культ потребления?

Esquire
Жизнь в кислотных облаках Жизнь в кислотных облаках

Как могла бы выглядеть венерианская жизнь?

Наука и жизнь
Sapiens Sapiens

Краткая история человечества

kiozk originals
9 мифов об Альберте Эйнштейне 9 мифов об Альберте Эйнштейне

Правда и мифы о создателе теории относительности

Вокруг света
Ученые открыли новый биомаркер расстройств аутистического спектра у дошкольников Ученые открыли новый биомаркер расстройств аутистического спектра у дошкольников

Выявлена взаимосвязь между РАС и концентрацией одного из белков в плазме крови

N+1
Трагедия Эйнштейна, или Счастливый Сизиф Трагедия Эйнштейна, или Счастливый Сизиф

Очерк четвёртый: «Стремление к истине ценнее обладания ею»

Наука и жизнь
Сооснователь сервиса «Самокат» — о «темных магазинах» и семейном бюджете Сооснователь сервиса «Самокат» — о «темных магазинах» и семейном бюджете

Вячеслав Бочаров об особенностях сервиса «Самокат» и его отличиях от конкурентов

РБК
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Чип спешит на помощь? Чип спешит на помощь?

«Огонек» задумался о перспективах чипизации

Огонёк
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Интервью с инвестиционным директором РВК Алексеем Басовым Интервью с инвестиционным директором РВК Алексеем Басовым

Интервью с инвестиционным директором РВК Алексеем Басовым

СНОБ
«Глаза» для беспилотников «Глаза» для беспилотников

Автомобили с круглой нашлепкой на крыше сегодня на дорогах уже не редкость

Популярная механика
Часики тикают Часики тикают

Даня Милохин и другие звезды TikTok точно знают, что время — деньги

GQ
Здоровье Здоровье

Гениальные врачи встречаются не только в сериалах

Maxim
Изменение климата загнало древесных американских ласточек в экологическую ловушку Изменение климата загнало древесных американских ласточек в экологическую ловушку

Раннее наступление весны негативно сказывается на численности птиц

N+1
Достать ножи Достать ножи

Лезвия ручной работы сегодня нужны не только коллекционерам холодного оружия

Вокруг света
«Подумаю об этом завтра» и другие примеры нейтрального самовнушения «Подумаю об этом завтра» и другие примеры нейтрального самовнушения

Аффирмации, которые помогут перестать критиковать и осуждать себя

Psychologies
Время девы. Весеннее небо Время девы. Весеннее небо

Весна — лучшее время для наблюдения созвездия Девы

Наука и жизнь
Душа осьминога Душа осьминога

Тайны сознания удивительного существа

kiozk originals
Как правильно бегать в холодное время года Как правильно бегать в холодное время года

Как бегать все восемь осенне-зимних месяцев с пользой для здоровья?

Maxim
«Джеймс Бонд филантропии»: создатель duty free Чарльз Фини раздал всё состояние на благотворительность — более $8 млрд «Джеймс Бонд филантропии»: создатель duty free Чарльз Фини раздал всё состояние на благотворительность — более $8 млрд

Чарльз Фини считает, что лучше раздавать деньги при жизни

VC.RU
Воды под Берлином Воды под Берлином

«Ундина» — интеллектуальное фэнтези о любви

Weekend
Давать свободу, доверять и наплевать на оценки. Мэй Маск и Эстер Войжитски — о том, как воспитать ребенка, который попадет в список Forbes Давать свободу, доверять и наплевать на оценки. Мэй Маск и Эстер Войжитски — о том, как воспитать ребенка, который попадет в список Forbes

О принципах воспитания нескольких участников списков Forbes из первых уст

Forbes
8 фильмов ужасов, основанных на реальных событиях 8 фильмов ужасов, основанных на реальных событиях

Тот самый случай, когда режиссеру даже не пришлось ничего приукрашивать

Maxim
Живопись «излечила» наши токсичные отношения Живопись «излечила» наши токсичные отношения

Арт-терапия помогла наладить отношения в семье

Psychologies
Это важнее IQ Это важнее IQ

Что такое эмоциональный интеллект и как его измерить?

Лиза
«Современный музей — это не хранение, а диалог с посетителем». Разговор сотрудниц Политеха об инклюзивности, образовании и новых форматах взаимодействия «Современный музей — это не хранение, а диалог с посетителем». Разговор сотрудниц Политеха об инклюзивности, образовании и новых форматах взаимодействия

Зачем музею говорить о правах человека

СНОБ
Эффект Люцифера Эффект Люцифера

Почему хорошие люди превращаются в злодеев

kiozk originals
Приручить энергию звезд Приручить энергию звезд

Каким ученые видят решение грядущего энергетического дефицита

N+1
Открыть в приложении