История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Жизнь в кислотных облаках Жизнь в кислотных облаках

Как могла бы выглядеть венерианская жизнь?

Наука и жизнь
10 игр, которым больше 20 лет, но в которые стоит поиграть и сегодня 10 игр, которым больше 20 лет, но в которые стоит поиграть и сегодня

Пока историю видеоигр не преподают в школах, воспользуйся этой подборкой

Maxim
Загадки исчезнувшей цивилизации Загадки исчезнувшей цивилизации

800 лет назад на месте современного Татарстана располагалась Волжская Булгария

Дилетант
Объяснить необъяснимое: кто подпадает под действие британского закона о неочевидных источниках благосостояния Объяснить необъяснимое: кто подпадает под действие британского закона о неочевидных источниках благосостояния

Как доказать британским властям юридическую чистоту источника денежных средств

Forbes
«Мне не в чем оправдываться» «Мне не в чем оправдываться»

26 декабря 2020 года в возрасте 98 лет ушёл из жизни Джордж Блейк

Дилетант
Без паники! Почему несовершенства снова в моде Без паники! Почему несовершенства снова в моде

Почему чрезмерный перфекционизм вреден

Cosmopolitan
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Кто вы: сегментатор или интегратор? Кто вы: сегментатор или интегратор?

Разобраться в своем отношении к работе и выстроить баланс между работой и жизнью

Psychologies
Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции

Деятельность жуков-навозников имеет воистину планетарное значение

Наука и жизнь
Ежедневный уход за новорожденным Ежедневный уход за новорожденным

Как правильно ухаживать за малышом?

9 месяцев
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
8 правил зачатия: как зачать ребенка 8 правил зачатия: как зачать ребенка

Момент зарождения жизни во многом до сих пор остается загадкой

9 месяцев
Здоровый настрой: 7 надежных клиник Здоровый настрой: 7 надежных клиник

Есть заведения, в которых лечиться не опасно

Вокруг света
«Бесцветный» «Бесцветный»

История комика Тревора Ноя: ужасы, которые пережил «бесцветный» ребенок в ЮАР

kiozk originals
Сила слова Сила слова

«Искусственный интеллект нужен человеку» – сообщил нам искусственный интеллект

Популярная механика
Гормоны стресса — виновники лишнего веса! Как «приручить» кортизол и адреналин? Гормоны стресса — виновники лишнего веса! Как «приручить» кортизол и адреналин?

Как работают гормоны стресса и как сохранить здоровье и красоту?

Cosmopolitan
13 прекрасных событий ужасного 2020 года 13 прекрасных событий ужасного 2020 года

Уже привык к тому, что 2020 год – самый ужасный в истории человечества?

Maxim
Пруст и кальмар Пруст и кальмар

История и наука читающего мозга

kiozk originals
На «Балтике» в ООН На «Балтике» в ООН

Рейс этого судна вошел не только в российскую, но и мировую политическую историю

Дилетант
Перламутровые губы возвращаются? 10 не старомодных звездных макияжей Перламутровые губы возвращаются? 10 не старомодных звездных макияжей

В тренды вновь возвращаются перламутровые помады

Cosmopolitan
Все наоборот: как работает метод парадоксального вмешательства Все наоборот: как работает метод парадоксального вмешательства

Порой психологи используют удивительные приемы в терапии

Psychologies
Кожа не как у младенца Кожа не как у младенца

Почему некоторые взрослые до сих пор пользуются детским кремом?

Glamour
Правила жизни Мишель Уильямс Правила жизни Мишель Уильямс

Мишель Уильямс: конфуз — мой любимый тип юмора

Esquire
Когда на планете закончится нефть? Когда на планете закончится нефть?

Мы куда реже задумываемся о том, что исчерпаемые ресурсы на то и исчерпаемые

Популярная механика
Как есть палочками: самый полный гид Как есть палочками: самый полный гид

Брось вызов гегемонии ножа и вилки на обеденном столе!

Maxim
Дипломатия ниже пояса Дипломатия ниже пояса

Российские юмористические шоу оказались в центре очередного скандала

СНОБ
Альцгеймер: этапы развития болезни Альцгеймер: этапы развития болезни

Отрывок из книги Джеймса Уорнера и Нори Грэм «Поговорим о болезни Альцгеймера»

Psychologies
Избыточные иллюстрации помешали детям понять прочитанное Избыточные иллюстрации помешали детям понять прочитанное

Если картинок слишком много, то эффективность обучения чтения под вопросом

N+1
Ниже солнца, выше воды Ниже солнца, выше воды

Беспилотное судно с почти неограниченным запасом хода

Популярная механика
6 необычных произведений искусства, которые стоят дороже, чем вы думаете 6 необычных произведений искусства, которые стоят дороже, чем вы думаете

Готовы купить унитаз за пару миллионов долларов?

GQ
Открыть в приложении