История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Безотходная пшеница для космического огорода Безотходная пшеница для космического огорода

Как работают биолого-технические замкнутые системы жизнеобеспечения человека

Наука и жизнь
Лекарства вместо отравы: найден способ защитить растения от грибка Лекарства вместо отравы: найден способ защитить растения от грибка

Как защитить растения от грибка? Найден ответ

Популярная механика
9 мифов об Альберте Эйнштейне 9 мифов об Альберте Эйнштейне

Правда и мифы о создателе теории относительности

Вокруг света
«Голодная степь: Голод, насилие и создание Советского Казахстана» «Голодная степь: Голод, насилие и создание Советского Казахстана»

Что мешало казахам перейти к оседлой жизни?

N+1
Жизнь в кислотных облаках Жизнь в кислотных облаках

Как могла бы выглядеть венерианская жизнь?

Наука и жизнь
10 необычных Opel 10 необычных Opel

Интереснейшие концепт-кары и прототипы Opel

Популярная механика
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Ароматные лайфхаки: как сделать эфирное масло в домашних условиях Ароматные лайфхаки: как сделать эфирное масло в домашних условиях

Советы для поклонниц натуральной косметики

Cosmopolitan
Время Кассиопеи. Осеннее небо Время Кассиопеи. Осеннее небо

Что можно наблюдать на звездном небе осенью

Наука и жизнь
10 актеров, по глупости отказавшихся от культовых ролей 10 актеров, по глупости отказавшихся от культовых ролей

О чем жалеют Том Хэнкс, Уилл Смит и Шон Коннери

Maxim
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Почему хочется спать, когда нужно работать: биологические часы человека Почему хочется спать, когда нужно работать: биологические часы человека

Когда лучше есть, когда спать, а когда заниматься спортом?

Cosmopolitan
О чём пишут научно-популярные журналы мира О чём пишут научно-популярные журналы мира

Открытие Америки, спорт, климат и немного цифр: все, о чем пишут научпоп-журналы

Наука и жизнь
Сломался ноготь, скололся лак и еще 8 проблем с маникюром, которые можно решить Сломался ноготь, скололся лак и еще 8 проблем с маникюром, которые можно решить

По нашим подсчетам, около трети всех бьюти-катастроф приходится на ногти

Cosmopolitan
Уроки на экваторе Уроки на экваторе

Месяц в деревне в Кении глазами волонтера-учительницы из России

Вокруг света
Назови меня Антуаном Дуанелем Назови меня Антуаном Дуанелем

О сериале главного современного специалиста по молодым и чувствительным

Weekend
Алесь Адамович Алесь Адамович

Опыт, пережитый Адамовичем во время войны, определил его мировоззрение

Дилетант
Не смертельно, но неприятно: как убрать зуд при ожоге крапивой Не смертельно, но неприятно: как убрать зуд при ожоге крапивой

Как снять зуд и жжение и на что обратить особое внимание при ожоге крапивой

Cosmopolitan
«Добрый» диктатор «Добрый» диктатор

Хрущёв искренне пытался улучшить жизнь народа. Но получилось... как всегда?

Дилетант
Краткая история злых клоунов Краткая история злых клоунов

Хочешь историческую справку, Джорджи?

Maxim
Радио против видео Радио против видео

Автоматическая посадка крылатого летательного аппарата давно уже не фантастика

Популярная механика
Как заработать много денег: основные нюансы и 8 работающих стратегий Как заработать много денег: основные нюансы и 8 работающих стратегий

Коллекция стратегий по заработку денег, способных принести хороший доход

Playboy
Сара Терриен: «Хорошая работа психолога чувствуется практически сразу» Сара Терриен: «Хорошая работа психолога чувствуется практически сразу»

Когда следует задуматься о консультации психолога?

Здоровье
Открыт новый тип организации нуклеиновых кислот в нашем теле Открыт новый тип организации нуклеиновых кислот в нашем теле

Исследователи изучают новый тип пространственной организации нуклеиновых кислот

Популярная механика
Хочу или должна: 5 честных вопросов себе Хочу или должна: 5 честных вопросов себе

Не потеряла ли ты себя среди бесконечных «надо» и «должна»?

Psychologies
История колёс без центральной оси: хаблесс или осмос История колёс без центральной оси: хаблесс или осмос

В 1989 году швейцарский автомобильный дизайнер Франко Сбарро произвел фурор

Популярная механика
На пиковых перекрёстках Гороховой улицы На пиковых перекрёстках Гороховой улицы

Магическое притяжение Гороховой улицы в Санкт-Петербурге

Наука и жизнь
Неприятные моменты: Терон, Рианна, Миноуг и другие звезды, пережившие трагедию Неприятные моменты: Терон, Рианна, Миноуг и другие звезды, пережившие трагедию

Насилие, абьюз, рак и другие трудности, с которыми справились эти девушки

Cosmopolitan
Как выбрать подушку для здорового сна. Инструкция Как выбрать подушку для здорового сна. Инструкция

Перьевые, анатомические, латексные, с наполнением из гречневой шелухи: что лучше

РБК
Как похудеть при ходьбе? 5 правил, которые работают Как похудеть при ходьбе? 5 правил, которые работают

Как гулять «с умом» и, заодно, сбросить лишний вес

Playboy
Открыть в приложении