История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Время Кассиопеи. Осеннее небо Время Кассиопеи. Осеннее небо

Что можно наблюдать на звездном небе осенью

Наука и жизнь
Какие фигуры нам нравятся на самом деле? Какие фигуры нам нравятся на самом деле?

Что, если на самом деле нам нравятся параметры, далекие от модельных?

Psychologies
О чём тот дуб молчит красноречиво… О чём тот дуб молчит красноречиво…

Ириновский дуб — памятник живой природы

Наука и жизнь
Подчинение авторитету Подчинение авторитету

Научный взгляд на власть и мораль

kiozk originals
Сера: из отходов в материал будущего Сера: из отходов в материал будущего

В мире ежегодно производится почти 80 миллионов тонн серы

Наука и жизнь
Вошли в моду Вошли в моду

Можно ли начать карьеру в фешен-бизнесе с нуля?

Cosmopolitan
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Найден источник аномально огромной массы космического потока Найден источник аномально огромной массы космического потока

Каким образом Магелланов поток достиг своих колоссальных размеров и массы

Популярная механика
От чего умер Ленин? От чего умер Ленин?

На момент смерти Ленину было всего 53 года. На здоровье он никогда не жаловался

Дилетант
Все краски жизни Все краски жизни

Кэрол Иган привнесла в традиционный американский дом жизнерадостное настроение

AD
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Семь очень древних звуков, которые удалось воссоздать ученым Семь очень древних звуков, которые удалось воссоздать ученым

Как «заговорили» тираннозавры, египетские мумии и кое-кто еще!

Maxim
Иванушка и удаленушка Иванушка и удаленушка

15 советов, как сохранить отношения на расстоянии

Maxim
В прошлом крупный девелопер Александр Сенаторов решил делать держатели для смартфонов. Сможет ли он построить успешный бизнес? В прошлом крупный девелопер Александр Сенаторов решил делать держатели для смартфонов. Сможет ли он построить успешный бизнес?

О силе конкурентов и слабости алюминия

Inc.
Люди на пределе Люди на пределе

Возможности нашего собственного, среднестатистического тела

Вокруг света
Объяснить необъяснимое: кто подпадает под действие британского закона о неочевидных источниках благосостояния Объяснить необъяснимое: кто подпадает под действие британского закона о неочевидных источниках благосостояния

Как доказать британским властям юридическую чистоту источника денежных средств

Forbes
Можно ли приручить землетрясение? Можно ли приручить землетрясение?

Что мы знаем о землетрясениях?

Наука и жизнь
Завезенные на Огненную Землю бобры ускорили рост кумжи Завезенные на Огненную Землю бобры ускорили рост кумжи

Построенные бобрами запруды создали условия, в которых лососи растут быстрее

N+1
Анна и молот Анна и молот

Анна Билецкая стала кузнецом и полностью изменила свою судьбу

Вокруг света
Как правильно бегать в холодное время года Как правильно бегать в холодное время года

Как бегать все восемь осенне-зимних месяцев с пользой для здоровья?

Maxim
«Комплекс плохой жены или матери». Топ-менеджеры рассказали, как высокий заработок женщины влияет на отношения в семье «Комплекс плохой жены или матери». Топ-менеджеры рассказали, как высокий заработок женщины влияет на отношения в семье

Каждая пятая пара распадается из-за того, что доход женщины выше чем у партнера

Forbes
Сохраняйте спокойствие Сохраняйте спокойствие

Спокойствие — мощный способ достижения успеха в жизни

kiozk originals
20 фактов о кошках, которые вы могли не знать 20 фактов о кошках, которые вы могли не знать

Соседство людей и кошек длится порядка 9500 лет! Хорошо ли мы знаем их?

Популярная механика
Гормоны счастья Гормоны счастья

Как приучить мозг вырабатывать серотонин, дофамин, эндорфин и окситоцин

kiozk originals
Плачу от техно Плачу от техно

Правда ли, что смартфон вреден для нашей кожи?

Glamour
«Звери дикого Юга», «Паразиты» и «Питер Пэн»: любимые книги и фильмы миллиардеров «Звери дикого Юга», «Паразиты» и «Питер Пэн»: любимые книги и фильмы миллиардеров

Что миллиардеры готовы рекомендовать к прочтению и просмотру?

Forbes
История колёс без центральной оси: хаблесс или осмос История колёс без центральной оси: хаблесс или осмос

В 1989 году швейцарский автомобильный дизайнер Франко Сбарро произвел фурор

Популярная механика
Китайский космоплан (или нет) вернулся на Землю через два дня после запуска Китайский космоплан (или нет) вернулся на Землю через два дня после запуска

Китайский многоразовый космический корабль совершил успешную посадку

N+1
Тесла Тесла

Человек из будущего

kiozk originals
Живая лаборатория Европы. Как устроен город, у которого есть план до 2070 года Живая лаборатория Европы. Как устроен город, у которого есть план до 2070 года

Как Копенгагену удается строить идеальную экосистему

Forbes
Открыть в приложении