История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Микроулитки на страже экологии Микроулитки на страже экологии

Биологическое разнообразие Арктики изучено крайне неравномерно

Наука и жизнь
«Если мы уберем уголь, все остальное развалится, как карточный домик». Интервью с губернатором Кемеровской области Сергеем Цивилевым «Если мы уберем уголь, все остальное развалится, как карточный домик». Интервью с губернатором Кемеровской области Сергеем Цивилевым

Губернатор Кемеровской области о том, что будет с Кузбассом через 30 лет

Forbes
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Женское здоровье: культура посещения гинеколога Женское здоровье: культура посещения гинеколога

Как начать заботиться о своем здоровье и регулярно посещать «женского врача»

Psychologies
Русские воины на службе у Орды Русские воины на службе у Орды

Привлечение в армию отрядов из покорённых земель являлось обычной практикой

Дилетант
4 странных военных конфликта XX века 4 странных военных конфликта XX века

Если хочется начать войну, закрой глаза и глубоко подыши

Maxim
Время Кассиопеи. Осеннее небо Время Кассиопеи. Осеннее небо

Что можно наблюдать на звездном небе осенью

Наука и жизнь
Лучший костюм на Хэллоуин — страшно красивые идеи от звезд и блогеров Лучший костюм на Хэллоуин — страшно красивые идеи от звезд и блогеров

Отыскать эффектный костюм на Хэллоуин — целое приключение

Cosmopolitan
Сера: из отходов в материал будущего Сера: из отходов в материал будущего

В мире ежегодно производится почти 80 миллионов тонн серы

Наука и жизнь
«Подумаю об этом завтра» и другие примеры нейтрального самовнушения «Подумаю об этом завтра» и другие примеры нейтрального самовнушения

Аффирмации, которые помогут перестать критиковать и осуждать себя

Psychologies
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Названы компании с самым высоким показателем эмиссии СО2 Названы компании с самым высоким показателем эмиссии СО2

Крупные компании несут ответственность за пятую часть мировых выбросов СО2

Популярная механика
«В погоне за светом и пространством…» «В погоне за светом и пространством…»

Как Константин Циолковский разработал план внеземной экспансии для человечества

Наука и жизнь
10 актеров, по глупости отказавшихся от культовых ролей 10 актеров, по глупости отказавшихся от культовых ролей

О чем жалеют Том Хэнкс, Уилл Смит и Шон Коннери

Maxim
Первый телефон Первый телефон

В начале XIX века в жизнь человечества вошел электрический телеграф

Вокруг света
Toyota RAV4: за что не надо переплачивать Toyota RAV4: за что не надо переплачивать

2 литра как золотой стандарт

Maxim
За черным пнем За черным пнем

Как живут люди и овцы в австралийской пустоши

Вокруг света
Как избавиться от надоедливых групповых чатов и создать информативное сообщество в Viber Как избавиться от надоедливых групповых чатов и создать информативное сообщество в Viber

Вас тоже раздражают бестолковые открытки и старые мемы в групповых чатах?

CHIP
Финалистки конкурса «Девушка года Playboy-2018» Финалистки конкурса «Девушка года Playboy-2018»

Финалистки конкурса «Девушка года Playboy-2018»

Playboy
Военный комплекс стоимостью 6 миллиардов долларов, который проработал ровно один день Военный комплекс стоимостью 6 миллиардов долларов, который проработал ровно один день

Теперь заброшенные здания базы принадлежат религиозному культу

Maxim
«Голодная степь: Голод, насилие и создание Советского Казахстана» «Голодная степь: Голод, насилие и создание Советского Казахстана»

Что мешало казахам перейти к оседлой жизни?

N+1
5 легендарных мечей, которые до сих пор целы 5 легендарных мечей, которые до сих пор целы

Эти легендарные мечи можно увидеть собственными глазами!

Maxim
Никаких ограничений Никаких ограничений

Три автодрома, которые со всех точек зрения подойдут читателям Robb Report

Robb Report
«Ежовые рукавицы» низкой инфляции: какие риски таит медленный рост цен «Ежовые рукавицы» низкой инфляции: какие риски таит медленный рост цен

У низкой инфляции может быть ряд побочных эффектов

Forbes
Интервью создателя CoinKeeper: зачем привлёк инвестиции на выход в Европу и почему учёт финансов — не только для бедных Интервью создателя CoinKeeper: зачем привлёк инвестиции на выход в Европу и почему учёт финансов — не только для бедных

Как CoinKeeper иногда принимают за криптосервис?

VC.RU
Вечные ценности Вечные ценности

На какие деньги живут города-музеи

Forbes
Арт-терапия Арт-терапия

Дмитрий Озерков — главный человек по современному искусству в Петербурге

Tatler
5 психологических уловок, которые сделают жизнь проще 5 психологических уловок, которые сделают жизнь проще

5 хитростей психологии, которые помогут расположить к себе людей

Cosmopolitan
Что значит быть плейбоем-2020 Что значит быть плейбоем-2020

Каким должен быть настоящий мужчина? Интервью с наследником бьюти-империи

Playboy
Неуловимый «средний класс»: ученые доказали существование странных черных дыр Неуловимый «средний класс»: ученые доказали существование странных черных дыр

Обнаружены гравитационные волны от столкновения черных дыр рекордной массы

Forbes
Открыть в приложении