История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

За что казнили Джордано Бруно За что казнили Джордано Бруно

Джордано Бруно окончил свою жизнь на костре за совсем другие «прегрешения»

Дилетант
Слепая зона и черная зависть. Оскар Хартманн о пяти ситуациях, когда деньги отнимают радость и счастье Слепая зона и черная зависть. Оскар Хартманн о пяти ситуациях, когда деньги отнимают радость и счастье

Зачастую деньги не приносят счастья

Forbes
На пиковых перекрёстках Гороховой улицы На пиковых перекрёстках Гороховой улицы

Магическое притяжение Гороховой улицы в Санкт-Петербурге

Наука и жизнь
Врач запретил американским супругам есть хлеб. Они перешли на цветную капусту и придумали бизнес на $11 млн Врач запретил американским супругам есть хлеб. Они перешли на цветную капусту и придумали бизнес на $11 млн

Как кухонные эксперименты Джин Дэвид вылились в большой бизнес

Inc.
Престо, модерато, адажио Престо, модерато, адажио

Фантастическая повесть Игоря Вереснева

Наука и жизнь
Как правильно делать маникюр в домашних условиях Как правильно делать маникюр в домашних условиях

Рассказываем все тонкости домашнего маникюра

Cosmopolitan
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
«Я просто очень быстрый человек» «Я просто очень быстрый человек»

Юлия Снигирь не любит откладывать на завтра то, что можно сделать прямо сейчас

OK!
Курултай для своих, деспотия для чужих Курултай для своих, деспотия для чужих

В Орде русские князья считались бесправными вассалами

Дилетант
Судьба человека Судьба человека

25 сентября Сергею Федоровичу Бондарчуку исполнилось бы сто лет

Tatler
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Берингово море потеряло рекордное количество зимнего льда за последние 5,5 тысячи лет Берингово море потеряло рекордное количество зимнего льда за последние 5,5 тысячи лет

В течение следующих десятилетий, зимний лед может вообще полностью исчезнуть

N+1
На понятном языке На понятном языке

Как появился Kotlin, и правда ли, что он идеален для программирования

Популярная механика
6 необычных произведений искусства, которые стоят дороже, чем вы думаете 6 необычных произведений искусства, которые стоят дороже, чем вы думаете

Готовы купить унитаз за пару миллионов долларов?

GQ
Одержимый царь Одержимый царь

Победа в Полтавской битве стала возможной только благодаря железной воле Петра I

Дилетант
15 плохих фильмов от хороших режиссеров 15 плохих фильмов от хороших режиссеров

Гении имеют право на ошибку

Maxim
Алгоритмические войны Алгоритмические войны

Как битвы будущего видят по ту сторону океана

Популярная механика
Гастрономическая лагуна Гастрономическая лагуна

Устричный рай на Сахалине

Огонёк
На надувной лодке через Атлантику На надувной лодке через Атлантику

Кругосветное плавание безопасной работой не было никогда

Вокруг света
«В поисках Константинополя. Путеводитель по византийскому Стамбулу» «В поисках Константинополя. Путеводитель по византийскому Стамбулу»

Основание, периоды расцвета и упадка столицы Византии

N+1
Уравнение с переменными. Три мнения о Land Rover Discovery Sport Уравнение с переменными. Три мнения о Land Rover Discovery Sport

Редакторы Autonews — об обновленном Land Rover Discovery Sport

РБК
Чувство жажды Чувство жажды

Разбираемся в причинах обезвоженности кожи

Лиза
«Гнездо» – настоящий фильм ужасов о том, как амбиции и ложь разрушают семью «Гнездо» – настоящий фильм ужасов о том, как амбиции и ложь разрушают семью

Чтобы заставить зрителя испугаться и переосмыслить ценности, не нужны привидения

GQ
Назови меня Антуаном Дуанелем Назови меня Антуаном Дуанелем

О сериале главного современного специалиста по молодым и чувствительным

Weekend
Культура молчания: как #metoo меняет законы в разных странах мира Культура молчания: как #metoo меняет законы в разных странах мира

Как работает «культура замалчивания» в разных странах

Forbes
Кантемиры Кантемиры

Дмитрий Кантемир считался одним из образованнейших людей своего времени

Дилетант
Кто испечет круассан? Кто испечет круассан?

Пандемия изменила рынок готовой еды для поставок в кофейни

Эксперт
Влияет ли среда обитания на запах и вкус пищи Влияет ли среда обитания на запах и вкус пищи

Почва, климат и микробы могут формировать вкус сельскохозяйственных культур

Популярная механика
5 реальных мегамашин, которые выглядят так, будто их создали дети 5 реальных мегамашин, которые выглядят так, будто их создали дети

Крутые и серьезные мегамашины с дизайном, который легко придумали бы дети

Популярная механика
Кто изобрел компьютерную мышь Кто изобрел компьютерную мышь

История создания компьютерной мыши, которая вдохновила Стива Джобса

Популярная механика
Открыть в приложении