История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Бегство наследника Бегство наследника

Алексей Петрович так боялся отца, что в итоге сбежал за границу

Дилетант
Диета Дюкана: научные факты о рисках и пользе Диета Дюкана: научные факты о рисках и пользе

Что такое «правильный» вес и почему питание по Дюкану может быть опасно

РБК
Время Кассиопеи. Осеннее небо Время Кассиопеи. Осеннее небо

Что можно наблюдать на звездном небе осенью

Наука и жизнь
Лепит, творит, ворует Лепит, творит, ворует

Амбиции этого человека вышли за все существующие рамки

GQ
За что казнили Джордано Бруно За что казнили Джордано Бруно

Джордано Бруно окончил свою жизнь на костре за совсем другие «прегрешения»

Дилетант
Таинственное убийство на ферме Хинтеркайфике: загадочное преступление в Германии Таинственное убийство на ферме Хинтеркайфике: загадочное преступление в Германии

Загадочное преступление, которое произошло 4 апреля 1922 года в Германии

Cosmopolitan
9 мифов об Альберте Эйнштейне 9 мифов об Альберте Эйнштейне

Правда и мифы о создателе теории относительности

Вокруг света
5 самых больших буровых установок: нефтегазовые колоссы 5 самых больших буровых установок: нефтегазовые колоссы

Буровые платформы - Гулливеры, в сравнении с которыми суда кажутся лилипутами

Популярная механика
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Как самостоятельно выучить иностранный язык: 12 советов, которые работают Как самостоятельно выучить иностранный язык: 12 советов, которые работают

Лайфхаки для изучающих языки от Марии Минаевой

Playboy
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Самое сухое место на Земле — песчаные дюны Антарктиды Самое сухое место на Земле — песчаные дюны Антарктиды

Сухие долины — место, где вот уже два миллиона лет не было никаких осадков

Maxim
Сыск об упрямом старичке Сыск об упрямом старичке

Коллекция следственных протоколов Руси разных веков

Дилетант
Интервью с автором подкаста «Закат Империи» Андреем Аксеновым Интервью с автором подкаста «Закат Империи» Андреем Аксеновым

Андрей Аксенов об исторической преемственности и симпатии к неоднозначным героям

СНОБ
Только без рук! Только без рук!

Невероятной популярности Венеры Милосской никак не мешает отсутствие рук

Вокруг света
Век Феллини Век Феллини

Феллини. Материал, который интересно читать и по сей день

Playboy
Пирожечь сердца людей! Пирожечь сердца людей!

Почему высокое искусство стихосложения все еще скорее живет, чем нет

Maxim
Нам всем нужен феминизм Нам всем нужен феминизм

Дискуссия о равенстве полов

kiozk originals
«Жар-птица» Арктики «Жар-птица» Арктики

Самая редкая птица Арктики — розовая чайка

Наука и жизнь
Иметь или быть? Иметь или быть?

Как современное общество стало материалистическим

kiozk originals
Антихрупкость Антихрупкость

Как извлечь выгоду из хаоса

kiozk originals
Регуляторные генетические элементы помогли рыбкам отрастить новые плавники Регуляторные генетические элементы помогли рыбкам отрастить новые плавники

Обнаружены гены и другие последовательности, активные во время регенерации

N+1
Мама – супергерой Мама – супергерой

Как быть многодетной мамой и быть красивой, стройной и успешной в профессии

Здоровье
Эффект Микадо: почему, становясь предпринимателями, вы лишаетесь свободы самовыражения Эффект Микадо: почему, становясь предпринимателями, вы лишаетесь свободы самовыражения

Почему предприниматели ответственны за судьбы других людей

Forbes
Икона стиля, актер без образования и еще 8 фактов из жизни Сергея Бодрова Икона стиля, актер без образования и еще 8 фактов из жизни Сергея Бодрова

Сергея Бодрова-младшего часто называют героем девяностых

Cosmopolitan
Судьбы главных красавиц: что стало с победительницами конкурса Судьбы главных красавиц: что стало с победительницами конкурса

Корона "Мисс России" не гарантирует счастья и успеха

Cosmopolitan
Армянский волкодав Армянский волкодав

Гампр — самая древняя порода собак из Армении

Weekend
Исаак Ньютон Исаак Ньютон

Вся правда о легендарном ученом

kiozk originals
Чего не хочет женщина Чего не хочет женщина

«Я ненавижу Сьюзи» — трагикомический сериал о похождениях незадачливой актрисы

Weekend
Бардак на столе — бардак в голове… Или нет? Бардак на столе — бардак в голове… Или нет?

Говорят, что лишние вещи мешают думать, но многие великие творили посреди хаоса

Psychologies
Открыть в приложении