История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Мне не в чем оправдываться» «Мне не в чем оправдываться»

26 декабря 2020 года в возрасте 98 лет ушёл из жизни Джордж Блейк

Дилетант
Рынок или ателье: как образуются огромные черные дыры Рынок или ателье: как образуются огромные черные дыры

Слияние черных дыр с сильно отличающейся массой идет по особому сценарию

Популярная механика
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Тесла Тесла

Человек из будущего

kiozk originals
Погружение в Африку Погружение в Африку

Маршрут доктора Дэвида Ливингстона вглубь Африки спустя 160 лет

Вокруг света
Варвара-краса Варвара-краса

Звезда сериала «Чики» Варвара Шмыкова провела 2020‑й получше многих

Tatler
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Бесконечная игра Бесконечная игра

В бизнесе побеждает тот, кто не участвует в гонке

kiozk originals
Курултай для своих, деспотия для чужих Курултай для своих, деспотия для чужих

В Орде русские князья считались бесправными вассалами

Дилетант
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Время Кассиопеи. Осеннее небо Время Кассиопеи. Осеннее небо

Что можно наблюдать на звездном небе осенью

Наука и жизнь
Зависимость от компьютерных игр: признаки, профилактика и методы лечения Зависимость от компьютерных игр: признаки, профилактика и методы лечения

Список основных признаков игровой зависимости, а также способы решения

Playboy
Дары на вечное хранение Дары на вечное хранение

Юбилейная выставка в Русском музее: поклон в пояс дарителям!

Наука и жизнь
Как быстро повзрослеть и стать ответственным: правила борьбы с инфантилизмом Как быстро повзрослеть и стать ответственным: правила борьбы с инфантилизмом

Инфантилизм может представлять серьезную проблему, которую можно и нужно решать

Playboy
Большие амурские наводнения Большие амурские наводнения

Трижды за последние десять лет на Амуре происходили очень большие наводнения

Наука и жизнь
Я не боюсь сказать Я не боюсь сказать

Телеведущая Сати Спивакова написала книгу почти обо всем, что думает

Tatler
Грязь под крышей мира Грязь под крышей мира

Что ждет Катманду в ближайшем будущем?

Вокруг света
Пять компьютерных розыгрышей: как безобидно насолить другу Пять компьютерных розыгрышей: как безобидно насолить другу

Способы избавиться от офисной скуки

Популярная механика
«Жар-птица» Арктики «Жар-птица» Арктики

Самая редкая птица Арктики — розовая чайка

Наука и жизнь
«Это просто мой долг и работа»: как врачи помогают пассажирам в полете «Это просто мой долг и работа»: как врачи помогают пассажирам в полете

Рассказы медиков, которым приходилось оказывать помощь на высоте 10 000 метров

Esquire
У птиц обнаружили сознание и схожую с млекопитающими архитектуру мозга У птиц обнаружили сознание и схожую с млекопитающими архитектуру мозга

Архитектура паллиума образована поперечными и продольными волокнами

N+1
Новые авианосцы Китая станут больше похожи на американские Новые авианосцы Китая станут больше похожи на американские

Информацию о развитии китайского флота и армии приходится собирать по крупицам

Популярная механика
Шика-блеска не давай Шика-блеска не давай

Неожиданно скромное жилище топ-модели Кендалл Дженнер

AD
Правила жизни Стивена Кинга Правила жизни Стивена Кинга

Правила жизни мастера ужасов Стивена Кинга

Esquire
Многообразие религиозного опыта Многообразие религиозного опыта

Исследование человеческой природы

kiozk originals
Земля. Тайная история красок Земля. Тайная история красок

Почему мир вокруг нас раскрашен в такие яркие цвета

kiozk originals
Портфолио бедности Портфолио бедности

Как бедняки живут на $2 в день

kiozk originals
5 «абсолютно безопасных» автомобилей 5 «абсолютно безопасных» автомобилей

Подборку самых уродливых ESV-автомобилей в истории

Популярная механика
Топлес: самые интересные научные факты о женской груди Топлес: самые интересные научные факты о женской груди

Она сводит с ума, кормит и даже спасает жизнь

Популярная механика
Стала актрисой из-за измены любимого и еще 9 фактов о жизни Зои Бербер Стала актрисой из-за измены любимого и еще 9 фактов о жизни Зои Бербер

После выхода на экраны «Реальных пацанов» всем стало понятно — звезда родилась

Cosmopolitan
Открыть в приложении