Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности 10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности

Эти девушки выглядят как инопланетянки, которые попали к нам из другого мира

Maxim
О чем молчат принцессы: знаменитости, столкнувшиеся с булимией и анорексией О чем молчат принцессы: знаменитости, столкнувшиеся с булимией и анорексией

Знаменитости, которые встречались с проблемами пищевого поведения

Cosmopolitan
Археологи отлили наконечники стрел по скифским технологиям Археологи отлили наконечники стрел по скифским технологиям

Самое массовое скифское изделие изготавливалось литьем в глиняных формах

N+1
Тогда и сейчас: как изменились Пелагея, Ёлка и другие артистки, игравшие в КВН Тогда и сейчас: как изменились Пелагея, Ёлка и другие артистки, игравшие в КВН

Как за эти годы изменились артистки из КВН

Cosmopolitan
Китайский зонд получит три российских научных прибора для исследования кометы и астероида Китайский зонд получит три российских научных прибора для исследования кометы и астероида

Россия создаст три научных прибора для китайской межпланетной станции ZhengHe

N+1
Орнитологи насчитали рекордное количество редчайших австралийских попугайчиков Орнитологи насчитали рекордное количество редчайших австралийских попугайчиков

Золотистобрюхие травяные попугайчики — одни из самых редких попугаев мира

N+1
7 российских гоночных трасс, на которых любой желающий может утолить жажду скорости 7 российских гоночных трасс, на которых любой желающий может утолить жажду скорости

Автодромы, где ты почувствуешь себя гонщиком даже на своем кредитомобиле.

Maxim
Сервис доставки продуктов за 15 минут в Калифорнии с российскими корнями привлек $2 млн Сервис доставки продуктов за 15 минут в Калифорнии с российскими корнями привлек $2 млн

Как россиянин Виталий Александров основал сервис доставки продуктов Food Rocket

Forbes
Полные карманы воспоминаний Полные карманы воспоминаний

Помните свои детские путешествия? Они как камушки в карманах

Seasons of life
Чистка зубов и ходьба: 10 неожиданных вещей, которые могут вызвать оргазм Чистка зубов и ходьба: 10 неожиданных вещей, которые могут вызвать оргазм

Знаешь ли ты, что можно испытать удовольствие от вещей, не связанных с сексом?

Cosmopolitan
4 способа вкусно приготовить макароны 4 способа вкусно приготовить макароны

Рассказываем, как вкусно и просто приготовить одно из самых популярных блюд

GQ
Верну всё, что и не дарил: звезды, которые с разводом лишились своего бизнеса Верну всё, что и не дарил: звезды, которые с разводом лишились своего бизнеса

Случаи, когда известные женщины лишались бизнеса после развода

Cosmopolitan
Не гаремом единым: турецкий сериал «Моя мама», который заставит вас плакать Не гаремом единым: турецкий сериал «Моя мама», который заставит вас плакать

«Моя мама» – это не очередной турецкий сериал про гарем и черную любовь

Cosmopolitan
Почему в современном мире необходимо постоянно учиться и переучиваться Почему в современном мире необходимо постоянно учиться и переучиваться

Чтобы идти в ногу со временем, нужно постоянно учиться

Популярная механика
Да что вы говорите? 6 фраз русских туристов, которые крайне странно звучат на английском Да что вы говорите? 6 фраз русских туристов, которые крайне странно звучат на английском

Самые популярные фразы на английском языке, в которых точно нельзя ошибаться

СНОБ
Мужья, дети и отчаянная борьба за жизнь «прекрасной няни» Анастасии Заворотнюк Мужья, дети и отчаянная борьба за жизнь «прекрасной няни» Анастасии Заворотнюк

Анастасия Заворотнюк проделала сложный путь к семейному счастью

Cosmopolitan

Признаки, по которым можно опознать девушку, которая чувствует себя беднотой

Cosmopolitan
Враги народа. Зачем России нужен список недружественных стран Враги народа. Зачем России нужен список недружественных стран

Но как объяснить смысл списка гражданам «врагов народа» — своим и чужим?

СНОБ
Противозачаточные таблетки: пить или не пить — разбираемся с врачом Противозачаточные таблетки: пить или не пить — разбираемся с врачом

Можно ли пить гормональные контрацептивы и кому они не подходят?

Cosmopolitan
Как выглядели после родов Кейт Миддлтон, Меган Маркл и другие любимицы британцев Как выглядели после родов Кейт Миддлтон, Меган Маркл и другие любимицы британцев

Появление на свет новых членов королевской семьи – важный и трогательный момент

Cosmopolitan
Новые лица: Dose и Dequine о современной музыке, вдохновении и совместном треке Новые лица: Dose и Dequine о современной музыке, вдохновении и совместном треке

Интервью с Dose и Dequine

Cosmopolitan
10 обычных продуктов, смертельных для котов и собак 10 обычных продуктов, смертельных для котов и собак

Еда со стола может быть опасной для домашнего любимца

Maxim
Свобода для врача: почему лечение заключенных не должно зависеть от начальников колоний Свобода для врача: почему лечение заключенных не должно зависеть от начальников колоний

Повод задуматься о состоянии российской тюремной системы

Forbes
Пространство новых материалов: таблица Менделеева не единственный способ организации элементов Пространство новых материалов: таблица Менделеева не единственный способ организации элементов

Физики из Сколтеха разрабатывают новую систему организации элементов

Популярная механика
Александр Чернокульский: «Я за преодоление всех проблем технологическими прорывами» Александр Чернокульский: «Я за преодоление всех проблем технологическими прорывами»

Ученые верят: у нас еще есть шанс спасти собственную планету

РБК
Отказ от размножения помог муравьям восстановить утраченный объем мозга Отказ от размножения помог муравьям восстановить утраченный объем мозга

Межкастовый переход муравьев привел к восстановлению объема мозга

N+1
Ботсванский метеорит оказался частью астероида Веста Ботсванский метеорит оказался частью астероида Веста

Состав ботсванского метеорита указал на возраст кратера Вененейи

N+1
Мария Каллас, любящая и страдающая. Впервые на русском языке выходит книга писем и воспоминаний великой певицы Мария Каллас, любящая и страдающая. Впервые на русском языке выходит книга писем и воспоминаний великой певицы

Письма и воспоминания великой оперной дивы Марии Каллас

СНОБ
Почему гиалуроновая кислота так популярна и как она работает Почему гиалуроновая кислота так популярна и как она работает

Косметолог: как с помощью гиалуроновой кислоты сделать кожу здоровее и красивее

РБК
«Продюсер — это человек, которому больше всех надо, чтобы все получилось» «Продюсер — это человек, которому больше всех надо, чтобы все получилось»

Продюсер Ирина Сосновая — о буме сериалов, Netflix и проблемах индустрии

Esquire
Открыть в приложении