Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
Дарья Повереннова: «Нам удалось уйти от тоскливой свадебной классики» Дарья Повереннова: «Нам удалось уйти от тоскливой свадебной классики»

Актриса Дарья Повереннова всегда мечтала встретить настоящего мужчину

Караван историй
Здоровая кожа, крепкие сосуды: роль витамина C в организме Здоровая кожа, крепкие сосуды: роль витамина C в организме

Витамин C — ключевой элемент множества процессов, происходящих в организме

РБК
Тайные едаголики: о чем говорят наши пристрастия в еде Тайные едаголики: о чем говорят наши пристрастия в еде

Откуда у нас пристрастие к определенным продуктам

Psychologies
Чем закончились испытания двигателя, нарушающего законы физики Чем закончились испытания двигателя, нарушающего законы физики

EmDrive не смог произвести ту тягу, которую ожидали его сторонники

Популярная механика
Михаил Кропотов: «Чем дольше человек курит, чем больше сигарет выкуривает, тем выше частота рака» Михаил Кропотов: «Чем дольше человек курит, чем больше сигарет выкуривает, тем выше частота рака»

Ежегодно 31 мая по инициативе ВОЗ проходит всемирный день без табака

Здоровье
Даже умеренные телесные наказания в детстве привели к проблемам в подростковом возрасте Даже умеренные телесные наказания в детстве привели к проблемам в подростковом возрасте

Физические наказания приводят к девиантному поведению в подростковом возрасте

N+1
Почему мы не испытываем оргазм и как это исправить Почему мы не испытываем оргазм и как это исправить

Как выяснить, не страдаем ли мы аноргазмией

Psychologies
Самостоятельная забота Самостоятельная забота

Окружающая среда – это буквально всё, что находится вокруг тебя

Cosmopolitan
Как бы выглядели дети Моники, Рэйчел и других героев сериала «Друзья»: фото Как бы выглядели дети Моники, Рэйчел и других героев сериала «Друзья»: фото

Какие дочери и сыновья могли бы быть у персонажей сериала «Друзья»

Cosmopolitan
Королева нарушила важную традицию: как Елизавета II полюбила Меган Маркл Королева нарушила важную традицию: как Елизавета II полюбила Меган Маркл

Отношения королевы и избранницы принца Гарри сложились с самого начала

Cosmopolitan
Матисс и Снупи Матисс и Снупи

Сочная графика, пестрые штаны и солнечные фотографии — это Мика Линдеберг

Seasons of life
Клюква, грелка или антибиотик: что делать при цистите? Клюква, грелка или антибиотик: что делать при цистите?

Почему возникает цистит и как правильно его лечить

Cosmopolitan
Эффект бабочки Эффект бабочки

Лукас Портман уверенно прокладывает себе путь в мире моды

Vogue
Палеонтологи впервые обнаружили следы молодого стегозавра Палеонтологи впервые обнаружили следы молодого стегозавра

В Китае обнаружили окаменевшие следы молодого стегозавра, жившего в раннем мелу

N+1
Принцип поворота Принцип поворота

О знаменитом цикле стихотворений Александра Блока «На поле Куликовом»

Наука
Темную материю предложили изучать по температуре экзопланет Темную материю предложили изучать по температуре экзопланет

Экзопланеты как детекторы темной материи

N+1
9 вредных привычек, которые изнашивают мотор твоего автомобиля 9 вредных привычек, которые изнашивают мотор твоего автомобиля

Заруби себе на торпедо!

Maxim
Као-мани Као-мани

В некоторых англоязычных странах эту породу принято называть Diamond Eye

Weekend
7 (не)очевидных признаков, которые многое говорят о человеке 7 (не)очевидных признаков, которые многое говорят о человеке

На что обратить внимание чтобы узнать, что представляет собой знакомый

Psychologies
IPO с нулевой суммой: кто платит за праздник доходностей на рынке первичных размещений IPO с нулевой суммой: кто платит за праздник доходностей на рынке первичных размещений

Откуда берутся эти двузначные показатели доходности за один день

Forbes
Мисс Россия: какая судьба ждала первых красавиц страны? Мисс Россия: какая судьба ждала первых красавиц страны?

Красавицы, которые удостаивались короны королевы красоты за последние 20 лет

Cosmopolitan
Политическая история: почему США признали геноцид армян Политическая история: почему США признали геноцид армян

Байден признал массовые убийства армян в Османской империи 1915 году геноцидом

Forbes
Почему драма «Минари» должна получить «Оскар»? Почему драма «Минари» должна получить «Оскар»?

«Минари»: драма, проникнутая тревогой

GQ
Великие женщины Великой Отечественной: как воевали и победили наши бабушки Великие женщины Великой Отечественной: как воевали и победили наши бабушки

Наши отважны бабушки, без самоотверженности которых никакой Победы не было бы

Cosmopolitan
10 заблуждений о правильном питании 10 заблуждений о правильном питании

Рационально питаться – это полезно, вкусно и несложно

Лиза
Сити-брейк: когда нужен короткий выходной Сити-брейк: когда нужен короткий выходной

Путешествие на пару дней в другой город – отличный вариант, чтобы развеяться

Лиза
Гигантские студенистые сферы из Атлантики оказались скоплениями яиц кальмаров Гигантские студенистые сферы из Атлантики оказались скоплениями яиц кальмаров

Морские биологи: для защиты потомства кальмары сохраняют яйца в слое слизи

N+1
Украшения, еда, впечатления: как зарабатывают на околокосмической теме Украшения, еда, впечатления: как зарабатывают на околокосмической теме

Предприниматели из России, зарабатывающие на космических впечатлениях

РБК
Мария Каллас, любящая и страдающая. Впервые на русском языке выходит книга писем и воспоминаний великой певицы Мария Каллас, любящая и страдающая. Впервые на русском языке выходит книга писем и воспоминаний великой певицы

Письма и воспоминания великой оперной дивы Марии Каллас

СНОБ
Открыть в приложении