Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
Отрезали и забыли: звезды, которые коротко постриглись и не жалеют об этом Отрезали и забыли: звезды, которые коротко постриглись и не жалеют об этом

Расстаться с длинными волосами – это всегда тяжело

Cosmopolitan
«Физика и жизнь. Законы природы: от кухни до космоса» «Физика и жизнь. Законы природы: от кухни до космоса»

Как немецкая домохозяйка помогла ученым исследовать поверхностное натяжение

N+1
Не в моем дворе Не в моем дворе

Как психология NIMBY привела к жилищному кризису в США

Forbes
Кровать вашей мечты Кровать вашей мечты

Самые важные советы экспертов по спальным принадлежностям

Домашний Очаг
Снять стресс за минуту: 6 коротких медитаций Снять стресс за минуту: 6 коротких медитаций

Медитация — один из самых эффективных и доступных способов борьбы со стрессом

Psychologies
Девушки в восторге! Брэд Питт, Деревянко и другие мачо, работавшие в стриптизе Девушки в восторге! Брэд Питт, Деревянко и другие мачо, работавшие в стриптизе

Актеры, которые до популярности попробовали себя в жанре приватных танцев

Cosmopolitan
Nitto Trail Grappler M/T. На дороге и в грязи Nitto Trail Grappler M/T. На дороге и в грязи

Обзор резины Nitto Trail Grappler M/T

4x4 Club
Стесняюсь спросить: можно ли исправить прикус и сделать зубы ровными в сжатые сроки? Стесняюсь спросить: можно ли исправить прикус и сделать зубы ровными в сжатые сроки?

Сколько времени займет процесс получения «голливудской» улыбки?

Esquire
Витрувианский хипстер Витрувианский хипстер

Биография Леонардо да Винчи, которую сценаристы превратили в детектив

Weekend
Автор фильма «Дуров» Родион Чепель — о том, как снять фильм о герое без героя и чем документалка отличается от блогерского репортажа Автор фильма «Дуров» Родион Чепель — о том, как снять фильм о герое без героя и чем документалка отличается от блогерского репортажа

Родион Чепель — о взаимодействии с главным героем его фильма «Дуров»

Esquire
Евгений Кочергин. Свидетель времени Евгений Кочергин. Свидетель времени

Евгений Кочергин: Я никогда не был от себя без ума, наоборот, относился критично

Караван историй
Почему в современном мире необходимо постоянно учиться и переучиваться Почему в современном мире необходимо постоянно учиться и переучиваться

Чтобы идти в ногу со временем, нужно постоянно учиться

Популярная механика
Стартап Валерия Мифтахова ZeroAvia привлек $24,3 млн от Билла Гейтса, Ли Ка-шина и других инвесторов Стартап Валерия Мифтахова ZeroAvia привлек $24,3 млн от Билла Гейтса, Ли Ка-шина и других инвесторов

Американский стартап ZeroAvia привлек $24,3 млн от Horizons Ventures

Inc.
Астрономы опровергли связь между гигантскими и повторяющимися быстрыми радиовсплесками Астрономы опровергли связь между гигантскими и повторяющимися быстрыми радиовсплесками

Они наблюдали за пульсаром в Крабовидной туманности

N+1
«Живу с абьюзером, который употребляет наркотики, и не могу уйти» «Живу с абьюзером, который употребляет наркотики, и не могу уйти»

Я была виновата даже в том, что на меня кто-то из мужчин смотрит

Psychologies
3 книги, которые помогут принять и полюбить свою внешность 3 книги, которые помогут принять и полюбить свою внешность

Книги, которые помогут пересмотреть отношение к себе и своему телу

Psychologies
Эстонцы представили первого в Европе робота-доставщика для дорог общего пользования Эстонцы представили первого в Европе робота-доставщика для дорог общего пользования

Робот-доставщик из Эстонии, который развозит небольшие посылки и еду

N+1
Таганская тюрьма Таганская тюрьма

В прошлом «Таганкой» называли знаменитую тюрьму

Дилетант
8 шагов, которые помогут выразить гнев экологично 8 шагов, которые помогут выразить гнев экологично

Как подружиться со своими эмоциями и проявлять их безопасно

Psychologies
Можно ли выспаться впрок, умереть от недосыпа и заработать «паралич субботней ночи»? Ответы сомнолога Можно ли выспаться впрок, умереть от недосыпа и заработать «паралич субботней ночи»? Ответы сомнолога

Отмечаем Всемирный день сна в компании авторитетного российского ученого

Maxim
Астрономы нашли два новых скопления галактик Астрономы нашли два новых скопления галактик

Астрономы подвели итоги обзора неба CHiPS

N+1
Меню ребенка в 6 месяцев Меню ребенка в 6 месяцев

В возрасте 6 месяцев ребенку станет мало одного грудного молока

9 месяцев
Возвращение Херста: как британский художник пишет историю современного искусства Возвращение Херста: как британский художник пишет историю современного искусства

Почему Дэмиен Херст вновь возвращается к своим старым идеям

Forbes
Самые трогательные фото со свадеб Анджелины Джоли, Джорджа Клуни и других звезд Самые трогательные фото со свадеб Анджелины Джоли, Джорджа Клуни и других звезд

Эти пышные торжества запомнились поклонникам необычайно яркими моментами

Cosmopolitan
Холодная война распространяется на Солнечную систему, космос подчиняет человека, а Луна побеждает Землю. 6 романов про освоение космоса Холодная война распространяется на Солнечную систему, космос подчиняет человека, а Луна побеждает Землю. 6 романов про освоение космоса

Фантастические романы, которые объединяет мотив отношений человека с космосом

Esquire
Генетики нашли предков скифов на Алтае и Урале Генетики нашли предков скифов на Алтае и Урале

Горный Алтай и Урал влияли на генетический фонд кочевников евразийских степей

N+1
Весомый аргумент Весомый аргумент

Если вы худеете, но вес не уходит, дело может быть не в диете, а в психологии

Добрые советы
Прекрасные перспективы Прекрасные перспективы

Проект в стиле французской классики с контрастными современными элементами

SALON-Interior
Исследование: 42% женщин против феминизма, а 39% не поддерживают #MeToo Исследование: 42% женщин против феминизма, а 39% не поддерживают #MeToo

Что думают российские женщины о харассменте, чайлдфри и комплиментах

Forbes
Открыть в приложении