Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
Правило трех вопросов. Эта проверенная в Гарварде техника поможет понравиться собеседнику Правило трех вопросов. Эта проверенная в Гарварде техника поможет понравиться собеседнику

Уточняющие вопросы сделает вас более привлекательным собеседником

Inc.
5 книг Нобелевских лауреатов, которые вам стоит прочесть 5 книг Нобелевских лауреатов, которые вам стоит прочесть

Топ книг нобелевских лауреатов, которые стоит прочесть каждому

Популярная механика
От цифровых картинок с котятами до революции в сфере искусства. Как карантин помог NFT-арту завоевать популярность От цифровых картинок с котятами до революции в сфере искусства. Как карантин помог NFT-арту завоевать популярность

Оправдается ли ажиотаж вокруг цифрового искусства и чем чревата NFT-революция

Esquire
«Я больше не боюсь ошибаться» «Я больше не боюсь ошибаться»

Ошибки — необходимая часть жизни

Psychologies
10 интересных фактов о принце Филиппе 10 интересных фактов о принце Филиппе

Муж королевы Англии, принц Филипп, герцог Эдинбургский

Популярная механика
Кто развивает BuildTech в России: кейсы Московского акселератора Кто развивает BuildTech в России: кейсы Московского акселератора

Строительство — одна из самых консервативных отраслей

Inc.
Семейный уют вместо тусовок и карьеры: 5 звезд, которых изменило материнство Семейный уют вместо тусовок и карьеры: 5 звезд, которых изменило материнство

Рождение ребенка меняет жизнь, и это доказывают наши героини — знаменитые мамы

Cosmopolitan
«Никогда ничего не поздно»: как в 59 выучить французский и найти свою судьбу «Никогда ничего не поздно»: как в 59 выучить французский и найти свою судьбу

История женщины, жизнь которой изменило увлечение иностранным языком

Psychologies
История Zasport: как создается олимпийская экипировка для сборной России История Zasport: как создается олимпийская экипировка для сборной России

Каково это — одевать атлетов

РБК
В видоискателе — животный мир В видоискателе — животный мир

Как фотографировать животных?

Наука и жизнь
[ знакомьтесь ] [ знакомьтесь ]

Александр Шарапов строит в Санкт-Петербурге крупнейший в мире коливинг

Собака.ru
Австралийские биологи опровергли редкость чистокровных динго Австралийские биологи опровергли редкость чистокровных динго

Австралийские динго, вопреки утверждениям, редко скрещиваются с собаками

N+1
Обзор TWS-наушников JAYS f-five и t-Seven: новинки из Швеции Обзор TWS-наушников JAYS f-five и t-Seven: новинки из Швеции

Обзор бюджетных наушников JAYS f-five и t-Seven с системой шумоподавления

CHIP
Выжили бы ты и твои близкие на «Титанике»? Проверь! Выжили бы ты и твои близкие на «Титанике»? Проверь!

Что стало бы с тобой и твоими близкими, окажись вы в ту ночь на борту Титаника

Cosmopolitan
Темную материю предложили изучать по температуре экзопланет Темную материю предложили изучать по температуре экзопланет

Экзопланеты как детекторы темной материи

N+1
Что делать властям с Навальным? Четыре сценария развития ситуации Что делать властям с Навальным? Четыре сценария развития ситуации

Что делать с Навальным в тюрьме?

СНОБ
Рождённые в XXI веке будут жить дольше! Рождённые в XXI веке будут жить дольше!

За последние десятилетия учёные добились успехов в изучении процессов старения

Здоровье
Рассказываем все, что знаем о фильме Зака Снайдера «Армия мертвецов» Рассказываем все, что знаем о фильме Зака Снайдера «Армия мертвецов»

Пересматриваем классные ленты про зомби

GQ
«Вообще я глобально грустный человек» «Вообще я глобально грустный человек»

Паулина Андреева — о сериале “Псих”, профессии сценариста и хейте

Esquire
Как установить и научиться защищать четкие рабочие границы Как установить и научиться защищать четкие рабочие границы

Как четко очертить рабочие границы

Psychologies
Интернет для мертвых и цифровое бессмертие: фрагмент романа писательницы Татьяны Замировской Интернет для мертвых и цифровое бессмертие: фрагмент романа писательницы Татьяны Замировской

Отрывок из романа «Смерти.net» о мире, в котором смерть — это непорядок

Esquire
7 звезд российского Инстаграма, поклонники которых умоляют их больше не худеть 7 звезд российского Инстаграма, поклонники которых умоляют их больше не худеть

Одни ими восхищаются, а другие упрекают в излишней худобе

Cosmopolitan
Почему некоторые люди путают право и лево? Почему некоторые люди путают право и лево?

Почему некоторым людям сложно отличать право и лево

Psychologies
Богини в 70 лет! Возрастные королевы красных дорожек, которые дадут фору молодым Богини в 70 лет! Возрастные королевы красных дорожек, которые дадут фору молодым

Красотки, которые доказывают, что выглядеть стильно можно в любом возрасте

Cosmopolitan
Basecamp без политики, соцпакетов и групповых решений: компания поменяла свои принципы, чем разозлила сотрудников Basecamp без политики, соцпакетов и групповых решений: компания поменяла свои принципы, чем разозлила сотрудников

Решение компании «сфокусироваться на рабочих делах» может понравиться не всем

VC.RU
7 лайфхаков, как упростить свой рабочий день 7 лайфхаков, как упростить свой рабочий день

Есть свободная минута? Прочти этот текст, и свободных минут у тебя станет больше

Maxim
Тучные невзгоды Тучные невзгоды

Что нужно знать о системном мастоцитозе

N+1
Ваши друзья не пьют алкоголь? Не говорите им эти 7 фраз Ваши друзья не пьют алкоголь? Не говорите им эти 7 фраз

Какие фразы лучше не адресовать трезвеннику на вечеринке?

Psychologies
Как называются и что означают спецоперации ГИБДД. Памятка для водителей Как называются и что означают спецоперации ГИБДД. Памятка для водителей

Разбираемся в названиях и целях специальных операций и рейдов ГИБДД

РБК
Открыть в приложении