Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности 10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности

Эти девушки выглядят как инопланетянки, которые попали к нам из другого мира

Maxim
«Сбережения — медленный путь к богатству». 28-летний миллионер рассказал, как начал зарабатывать семизначные суммы «Сбережения — медленный путь к богатству». 28-летний миллионер рассказал, как начал зарабатывать семизначные суммы

Почему сбережения ― плохой путь к богатству?

Inc.
Управляющая компания Управляющая компания

Как гормоны влияют на нашу жизнь и что с этим делать?

Cosmopolitan
Артем Карасев: «Романтика нас обогащает» Артем Карасев: «Романтика нас обогащает»

В новой мелодраме «Красота небесная» Артему Карасеву досталась роль пилота

Лиза
Как выглядели звездные красотки Муцениеце, Асмус и другие в своих первых фильмах Как выглядели звездные красотки Муцениеце, Асмус и другие в своих первых фильмах

Чтобы добиться популярности, им пришлось сыграть много ролей

Cosmopolitan
Можно ли родителям заниматься сексом при ребенке? Можно ли родителям заниматься сексом при ребенке?

Как интимная жизнь родителей может сказаться на психике ребенка?

Psychologies
Враги народа. Зачем России нужен список недружественных стран Враги народа. Зачем России нужен список недружественных стран

Но как объяснить смысл списка гражданам «врагов народа» — своим и чужим?

СНОБ
MIND-диета: лучшая система питания для мозга и тела MIND-диета: лучшая система питания для мозга и тела

Что нужно есть, чтобы держать в форме и свое тело, и свой мозг

Cosmopolitan
Отдых самурая Отдых самурая

Несколько советов для восстановления сил с использованием буддийских практик

Psychologies
Странные лайфхаки, которые все же работают Странные лайфхаки, которые все же работают

Очень нетривиальные способы справиться с жизненными трудностями

Maxim
Land Rover Defender. Не время умирать Land Rover Defender. Не время умирать

Тест-драйв: новый Land Rover Defender

4x4 Club
«Оскар-2021» глазами психолога: расставляем «диагнозы» фильмам «Оскар-2021» глазами психолога: расставляем «диагнозы» фильмам

Деменция, нарциссизм и другие проблемы в фильмах-номинантах «Оскара-2021»

Psychologies
Дмитрий Глуховский: Лучше всего мне удается болтать, хуже — писать, а больше мне не удается вообще ничего Дмитрий Глуховский: Лучше всего мне удается болтать, хуже — писать, а больше мне не удается вообще ничего

Дмитрий Глуховский смело экспериментирует с новыми форматами

СНОБ
Звезды индийского кино: судьбы, лица и неизвестные факты Звезды индийского кино: судьбы, лица и неизвестные факты

Культовые индийские фильмы принесли этим актерам мировую известность

Cosmopolitan
Мужские украшения будущего: создательница ian charms – о новой маскулинности, бусинах из России и Джастине Бибере Мужские украшения будущего: создательница ian charms – о новой маскулинности, бусинах из России и Джастине Бибере

Лизе Саакян удалось сделать успешную марку с иронией

GQ
«Я родила!»: звездные россиянки, победившие бесплодие «Я родила!»: звездные россиянки, победившие бесплодие

Виктория Исакова, Наталья Подольская и другие артистки, победившие бесплодие

Cosmopolitan
Главные разлучницы Голливуда: Анджелина Джоли, Эмбер Херд и другие звезды Главные разлучницы Голливуда: Анджелина Джоли, Эмбер Херд и другие звезды

Этих звезд называют разлучницами

Cosmopolitan
Фрэнсис Форд Коппола и интересные факты о нём Фрэнсис Форд Коппола и интересные факты о нём

Интересные факты из биографии режиссера «Крёстного отца»

Maxim
Рождённые в XXI веке будут жить дольше! Рождённые в XXI веке будут жить дольше!

За последние десятилетия учёные добились успехов в изучении процессов старения

Здоровье
Удивительный гёмбёц: «неваляшка» без грузика внутри Удивительный гёмбёц: «неваляшка» без грузика внутри

Детская игрушка — «неваляшка» всегда возвращается в исходное положение

Популярная механика

Романы Заворотнюк тянут на отдельный сериал с изменами, интригами и расставанием

Cosmopolitan
Отрывок из книги директора ГМИИ имени Пушкина Ирины Антоновой «Воспоминания: траектория судьбы» Отрывок из книги директора ГМИИ имени Пушкина Ирины Антоновой «Воспоминания: траектория судьбы»

Книга директора ГМИИ имени Пушкина Ирины Антоновой о семье, детстве и войне

СНОБ
Чунцин Чунцин

Чунцин, он же китайский бульдог,— собачий долгожитель!

Weekend
Что делать властям с Навальным? Четыре сценария развития ситуации Что делать властям с Навальным? Четыре сценария развития ситуации

Что делать с Навальным в тюрьме?

СНОБ
5 популярных заблуждений о животных, в которые все верят 5 популярных заблуждений о животных, в которые все верят

Мы живем с ними целую вечность на одной планете и почти ничего о них не знаем

Maxim
«Что потеряет мир, если вашей компании не будет?» Главное из интервью Андрея Кривенко про «ТилТех Капитал» «Что потеряет мир, если вашей компании не будет?» Главное из интервью Андрея Кривенко про «ТилТех Капитал»

Основатель «ТилТех Капитал» рассказал, как фонд выбирает проекты

Inc.
«Большая редкость для рынка»: сервис аренды аккумуляторов «Бери заряд!» привлек 431 млн рублей «Большая редкость для рынка»: сервис аренды аккумуляторов «Бери заряд!» привлек 431 млн рублей

Сервис для аренды пауэрбэнков «Бери заряд!» привлек 431 млн рублей

Forbes
Как выглядели Бритни Спирс, Кристина Агилера и другие поп-звезды в день свадьбы Как выглядели Бритни Спирс, Кристина Агилера и другие поп-звезды в день свадьбы

Эти поп-звезды постарались сделать день своей свадьбы незабываемым

Cosmopolitan
Это не любовь. Что не так с новой BMW M4 (кроме ноздрей) Это не любовь. Что не так с новой BMW M4 (кроме ноздрей)

Баварцы сделали самую мощную и быструю машину в истории M3/M4

РБК
Любовь без предрассудков: три истории и комментарий эксперта Любовь без предрассудков: три истории и комментарий эксперта

Истории о любви, сметающей все преграды

Psychologies
Открыть в приложении