Логарифмические фракталы, или почему дерево живёт в двумерном мире
Стремясь описать предмет, человек большую часть своей истории упрощал мир вокруг себя, представляя вместо реальных объектов абстрактные модели — гладкие линии, правильные геометрические фигуры. Но мир устроен сложнее, и иногда объект можно описать лишь бесконечно изломанными, самоподобными линиями — фракталами. Облака, разряды молний, ветвление деревьев, распределение вещества в галактиках, русла рек и многое другое — всё это фрактальные объекты.
Лишь только появившись, идея о самоподобных на всех масштабах объектах захватила умы людей — видимо, оттого, что сами фракталы сочетают в себе какой-то особый порядок: не будучи периодическими и будучи бесконечными, они кажутся ограниченными.
Наглядно с фрактальным объектом можно познакомиться, рассмотрев парадокс «береговой линии». Береговая линия сильно испещрена различными неровностями так, что чем точнее пытаться измерить её длину, тем больше эта длина будет получаться, вплоть до бесконечности. Например, если измерять длину береговой линии Британии отрезками по 100 км, получим около 2800 км, а если взять отрезки по 50 км, длина будет уже 3400 км, что на 600 км больше. Таким образом, чем меньше размер линейки — инструмента для измерения длины, — тем больше длина береговой линии. Береговая линия хоть и не является самоподобной в привычном (геометрическом) смысле, но тем не менее она является фракталом. Аналогичные рассуждения верны и для других объектов.
Наличие объектов, которые невозможно измерить привычными для нас мерами (длина, площадь, объём), и привело к появлению понятия фрактал, или фрагментированный объект. Люди привыкли, что линии одномерны, поверхности двумерны, а какие-то объёмные фигуры трёхмерны. Но фракталы не укладываются в эту логику. Для описания фракталов используется фрактальная размерность, которая может быть не целой, а дробной.
Фракталы можно разделить на три основных класса: массовые (фрагментированность распределена по всему фракталу), приграничные (фрагментированность возникает за счёт границы объекта) и логарифмические, которые являются промежуточным случаем между первыми двумя классами.
Логарифмические фракталы вызывают особый интерес, поскольку они способны описать объекты живой природы. Такие объекты имеют иерархическую структуру и, кроме фрактальной размерности, которая в случае логарифмических фракталов равна целому числу, характеризуются дополнительным параметром — логарифмической подразмерностью. Кроме того, для таких объектов выполняется закон сохранения суммарной площади (длины, объёма) фрагментов различных поколений фрактала.
Для того чтобы измерить фрактальную размерность и классифицировать фрактал, широко используется метод рассеяния нейтронов, рентгеновского излучения или видимого света. Если на исследуемый объект падает излучение, то по зависимости интенсивности рассеянного излучения от угла рассеяния можно определить характер неоднородностей плотности вещества внутри объекта. Строится кривая интенсивности рассеяния от угла, который пересчитывается в импульс, переданный частице со стороны объекта. По наклону этой кривой в двойном логарифмическом масштабе судят как о фрактальной размерности объекта, так и о его классе.