Какие ваши доказательства
Действительно ли модель OpenAI решила Задачу тысячелетия?
Вечером 8 сентября OpenAI объявила, что ее новая внутренняя ИИ-модель решила одну из Задач тысячелетия — проблему уравнений Навье — Стокса. Однако событие, которое должно было «проинформировать весь мир о темпах развития ИИ и [том,] чего ожидать от новых моделей», тут же омрачилось скандалом: математики Тристан Бакмастер и Левен Альпёге обвинили создателей GPT в заимствовании идей. Что случилось в профессиональном сообществе, почему к уравнениям Навье — Стокса приковано так много внимания и в чем вообще заключается их сложность — по просьбе N + 1 объясняют математики из AIRI Валентин Хрульков и Владимир Фанасков.
О каких уравнениях идет речь
Уравнения Навье — Стокса — это, по сути, второй закон Ньютона, записанный для маленького кусочка жидкости или газа. Сила равна массе на ускорение, только «телом» здесь выступает не шарик, а непрерывная среда, которая течет, растягивается и трется сама о себя. Из этих нескольких строчек следует почти все, что окружает нас в жизни: обтекание крыла самолета, кровоток в артерии, циклон над Москвой, дым от сигареты и вода из крана. Первую версию уравнений написал французский инженер Клод-Луи Навье в 1822 году, а окончательную форму им придал британец Джордж Габриэль Стокс в середине 1840-х. Принято считать, что к 1846 году уравнения приобрели тот вид, в котором их используют сегодня.
Вся сложность уравнений спрятана в одном слагаемом — конвективном члене u × ∇u. Оно означает, что жидкость переносит сама себя, то есть скорость влияет на то, как меняется скорость. Из-за этой нелинейности уравнения невозможно решить в лоб, и именно из нее рождается турбулентность. Несмотря на то, что у уравнения Навье — Стокса есть огромное количество применений, ответ на один простой на первый взгляд вопрос математикам был неизвестен. Предположим, мы начали с «хорошего» начального состояния жидкости. Останется ли течение гладким вечно или в какой-то момент скорость в одной точке уйдет в бесконечность, и решение «сломается»? Такой сценарий называют взрывом и сингулярностью.
Вопрос не праздный. У родственных уравнений сингулярности возникают по-настоящему: в сжимаемом газе без вязкости гладкое течение само собой порождает ударные волны — это стало острой практической проблемой в эпоху реактивной авиации и ядерных испытаний. Так что совершенно естественно подозревать неладное и в вязкой жидкости.
В 2000 году Математический институт Клэя объявил семь Задач тысячелетия с призом в миллион долларов за решение каждой. Существование и гладкость решений Навье-Стокса — одна из них. Впоследствии математики не раз пытались справиться с ней и даже получили престижные премии, однако решить вопрос окончательно и получить обещанную награду не смог никто.
Кто и как штурмовал задачу?
Состоявшиеся доказательства
Витторио Шеффер (1970-е) и Луис Каффарелли, Роберт Кон, Луис Ниренберг (1982)
Доказали «частичную регулярность». Даже если особенности существуют, множество их очень мало — настолько, что в нем не помещается ни одна кривая. За это доказательство Каффарелли и Ниренберг позже получили Абелевскую премию (Абелевская премия считается ближайшим математическим аналогом Нобелевской премии. Эту награду каждый год вручает Норвежская академия наук и литературы. Лауреатов определяет Абелевский комитет — группа из пяти математиков, которые назначаются исходя из списка кандидатов.)
Теренс Тао (2016)
Не решил задачу, но объяснил, почему ее так трудно решить. Он придумал «усредненное» уравнение Навье — Стокса, очень похожее на настоящее, и доказал, что у него решение взрывается. Вывод Тао заключается в том, что любой метод, не различающий эти два уравнения, обречен на провал.
Тристан Бакмастер и Влад Викол (2019)
Уравнение можно понимать «слабо», то есть требовать, чтобы оно выполнялось не в каждой точке, а лишь «в среднем» (как слабая производная). Для одного из таких общепринятых определений слабого решения — решений Лерэ — Бакмастер и Викол показали, что решение не единственно. Из одного и того же начального состояния жидкость может развиваться по-разному. Это частичный результат на пути к полному доказательству, ведь если ужесточать понятие слабого решения, в пределе получится прийти к сильному, и единственность именно для него и будет решением проблемы Навье — Стокса. За эту работу они получили Clay Research Award.
Несостоявшиеся доказательства
Пенелопа Смит (2006)
Математик из Лехайского университета выложила на arXiv.org препринт под названием «Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navier—Stokes System». Работа быстро привлекла внимание и даже попала в новости Nature, но уже в следующем месяце Смит написала в издательство, что нашла в статье ошибку и отозвала результат самостоятельно, а также удалила препринт.
Мухтарбай Отелбаев (2014)
Ученый из Казахстана тоже попытался решить задачу и опубликовал доказательство, но в течение нескольких недель после публикации его коллеги обнаружили в работе неточность.
Томас Хоу и Цзяцзе Чэнь (2022–2025)
Им принадлежит самый близкий подход к решению задачи. Ученые предложили компьютерно-ассистированное доказательство того, что сингулярность возникает в уравнениях Эйлера («Навье — Стокс без вязкости») с гладкими начальными данными и границей — работа опубликована в PNAS в 2025-м.
ИИ (2025 год)
Команда исследователей из DeepMind и других университетов и компаний с помощью нейросетей нашла целые семейства неустойчивых самоподобных особенностей в родственных уравнениях гидродинамики — задача, которая раньше требовала многолетнего ручного анализа.
В августе 2026 года Ллойд Трефетен, профессор прикладной математики Гарварда, опубликовал эссе, в котором высказал почти еретическую для многих коллег мысль: четверть века интенсивных исследований сделали задачу Навье — Стокса менее важной, чем она казалась в 2000 году.