История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

От чего умер Ленин? От чего умер Ленин?

На момент смерти Ленину было всего 53 года. На здоровье он никогда не жаловался

Дилетант
Не думайте о покупателе: как вырастить стартап, который купит Apple Не думайте о покупателе: как вырастить стартап, который купит Apple

Что необходимо учитывать при создании стартапа, чтобы заинтересовать Apple

Forbes
Эпоха тюрок. Печенеги Эпоха тюрок. Печенеги

С IX века хозяевами Великой степи становятся тюркоязычные народы

Дилетант
Почему человечество страдает от кариеса и можно ли с этим бороться Почему человечество страдает от кариеса и можно ли с этим бороться

Кариес – это инфекция, которой сегодня заражены практически все жители планеты

Популярная механика
Сайгачьи будни Сайгачьи будни

В России можно наблюдать весь цикл жизни степной антилопы

Наука и жизнь
Рыба и ее социальный интеллект Рыба и ее социальный интеллект

Отрывок из книги «О чем молчат рыбы: Путеводитель по жизни морских обитателей»

СНОБ
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Ученые нашли диких предков новогвинейских поющих собак Ученые нашли диких предков новогвинейских поющих собак

Считалось, что новогвинейские поющие собаки вымерли в дикой природе

N+1
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Пять телесных проявлений депрессии Пять телесных проявлений депрессии

Мы привыкли, что депрессия – это прежде всего о душе, но ещё и о теле

Здоровье
Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции

Деятельность жуков-навозников имеет воистину планетарное значение

Наука и жизнь
9 способов использовать носки не по назначению 9 способов использовать носки не по назначению

Подари своим непарным носкам вторую жизнь!

Maxim
Строки, оборванные пулей Строки, оборванные пулей

О судьбе архива поэта рассказывает Любовь Сумм, внучка Павла Когана

Дилетант
Чертоги чужого разума. Почему все обсуждают новый фильм Чарли Кауфмана «Думаю, как все закончить» Чертоги чужого разума. Почему все обсуждают новый фильм Чарли Кауфмана «Думаю, как все закончить»

«Думаю, как все закончить» — фильм о сумерках рассудка от Чарли Кауфмана

Forbes
Лена Горностаева Лена Горностаева

Какую часть мужского тела Лена Горностаева считает самой сексуальной?

Playboy
Премьере «Стрельцова» посвящается: 9 дорогих спортивных байопиков Премьере «Стрельцова» посвящается: 9 дорогих спортивных байопиков

Спортивные драмы с амбициозными бюджетами и внушительными кассовыми сборами

РБК
Дары на вечное хранение Дары на вечное хранение

Юбилейная выставка в Русском музее: поклон в пояс дарителям!

Наука и жизнь
«Гнездо» – настоящий фильм ужасов о том, как амбиции и ложь разрушают семью «Гнездо» – настоящий фильм ужасов о том, как амбиции и ложь разрушают семью

Чтобы заставить зрителя испугаться и переосмыслить ценности, не нужны привидения

GQ
Царь-птица Царь-птица

К этим гордым и боевым птицам мы относимся с поразительным пренебрежением

Популярная механика
Куда уходит бодрость... Куда уходит бодрость...

Почему же мы все – или почти все – чувствуем себя такими изможденными?

Psychologies
В стране вечного солнца В стране вечного солнца

Познакомьтесь с красотами Австралии

kiozk originals
Сознание — сила Сознание — сила

Как справиться с выгоранием и эффективно работать в команде. Мнение экспертов

Vogue
Истории внутри нас Истории внутри нас

Истории о женском теле и здоровье от победительниц конкурса #ИсторииVнутриНас

Grazia
Топлес: самые интересные научные факты о женской груди Топлес: самые интересные научные факты о женской груди

Она сводит с ума, кормит и даже спасает жизнь

Популярная механика
5 признаков того, что вы теряете мышцы, а не жир 5 признаков того, что вы теряете мышцы, а не жир

Алексей Столяров разрешает спортивную «теорему Пуанкаре».

GQ
Эффект Люцифера Эффект Люцифера

Почему хорошие люди превращаются в злодеев

kiozk originals
Выход на новую работу: как быстро добиться успеха Выход на новую работу: как быстро добиться успеха

Как сразу создать нужный имидж на новом месте работы

Forbes
Антихрупкость Антихрупкость

Как извлечь выгоду из хаоса

kiozk originals
9 вещей, которые ты мог не заметить в трейлере «Дюны» 9 вещей, которые ты мог не заметить в трейлере «Дюны»

Куб агонии, cпайс, Pink Floyd и многое другое в трейлере «Дюны»

Maxim
Поставить атлант на место: кому это надо и зачем? Поставить атлант на место: кому это надо и зачем?

Сейчас многие клиники наперебой предлагают «поставить атлант на место»

Psychologies
Открыть в приложении