История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Крестовый психоз бедноты Крестовый психоз бедноты

Крестовый поход бедноты запомнился грабежами и массовыми убийствами

Дилетант
Перламутровые губы возвращаются? 10 не старомодных звездных макияжей Перламутровые губы возвращаются? 10 не старомодных звездных макияжей

В тренды вновь возвращаются перламутровые помады

Cosmopolitan
Жизнь в кислотных облаках Жизнь в кислотных облаках

Как могла бы выглядеть венерианская жизнь?

Наука и жизнь
«Вар! Верни легионы!» «Вар! Верни легионы!»

Одно из самых унизительных поражений римской армии

Дилетант
От чего умер Ленин? От чего умер Ленин?

На момент смерти Ленину было всего 53 года. На здоровье он никогда не жаловался

Дилетант
Как понять свои сексуальные желания: советы экспертов Как понять свои сексуальные желания: советы экспертов

Иногда мы сами не до конца понимаем, что нас действительно возбуждает

Psychologies
Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции

Деятельность жуков-навозников имеет воистину планетарное значение

Наука и жизнь
Дорогие игрушки: как сделка Microsoft и ZeniMax Media изменит рынок видеоигр Дорогие игрушки: как сделка Microsoft и ZeniMax Media изменит рынок видеоигр

Microsoft потратил $7,5 млрд на разработчика культовых видеоигр ZeniMax Media

Forbes
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Вернитесь в зону комфорта Вернитесь в зону комфорта

«Сделано в Италии» — очаровательная история и личный проект Лиама Нисона

СНОБ
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
«Отказываться от транспортного налога нельзя». Что будет с ценами на АЗС «Отказываться от транспортного налога нельзя». Что будет с ценами на АЗС

Что сегодня влияет на стоимость топлива и стоит ли ждать роста цен

РБК
Труба, валторна и фрак Труба, валторна и фрак

Как важными свидетелями событий военного времени становятся личные вещи

Дилетант
«Сержант Пеппер» The Beatles больше не самый великий альбом всех времен «Сержант Пеппер» The Beatles больше не самый великий альбом всех времен

А также: Pink Floyd на десятки позиций ниже Beyonce, а Radiohead — в топ-20

Maxim
Техпарад Техпарад

Новости мира науки и техники

Популярная механика
Животная страсть Животная страсть

Елена Перминова: о муках совершенствования пресса

Vogue
Преступление и исправление Преступление и исправление

Тюрьма в Филадельфии считается бабушкой всех современных тюрем

Дилетант
“Юйту-2” узнал происхождение грунта на обратной стороне Луны “Юйту-2” узнал происхождение грунта на обратной стороне Луны

Открытия маленького робота “Юйту-2” могут изменить представления о Луне

Популярная механика
Борис Лавренёв Борис Лавренёв

Статья о советском прозаике, поэте и драматурге Борисе Лавренёве

Дилетант
10 способов визуально уменьшить поры — советы дерматологов 10 способов визуально уменьшить поры — советы дерматологов

10 самых простых и эффективных рекомендаций, как визуально уменьшить поры

Cosmopolitan
Никаких ограничений Никаких ограничений

Три автодрома, которые со всех точек зрения подойдут читателям Robb Report

Robb Report
Найден источник аномально огромной массы космического потока Найден источник аномально огромной массы космического потока

Каким образом Магелланов поток достиг своих колоссальных размеров и массы

Популярная механика
15 деталей, которые ты, скорее всего, пропустил в фильме «Рокки» 15 деталей, которые ты, скорее всего, пропустил в фильме «Рокки»

Знал ли ты, что Рокки Бальбоа на самом деле победил Аполло Крида в первом бою?

Maxim
Все четыре стороны Все четыре стороны

Героини осенних кинопремьер о сексе, моде, детях

Vogue
Вредно ли слушать музыку в наушниках: исследования ученых Вредно ли слушать музыку в наушниках: исследования ученых

Действительно ли прослушивание музыки ухудшает слух и что с этим делать?

РБК
«Солярис», «Армагеддон», «Контакт» и еще 7 фильмов про космос «Солярис», «Армагеддон», «Контакт» и еще 7 фильмов про космос

Фильмы о покорителях Галактики помогут морально подготовиться к полету в космос

РБК
«Дорогие товарищи» Андрея Кончаловского — фильм об уроке советской истории, который нельзя прогулять «Дорогие товарищи» Андрея Кончаловского — фильм об уроке советской истории, который нельзя прогулять

«Дорогие товарищи» — черно-белая драма о расстреле демонстрации в Новочеркасске

Esquire
Все лгут Все лгут

Поисковики, Big Data и Интернет знают о вас все

kiozk originals
Работа рулит! Работа рулит!

Почему большинство людей в мире хотят работать именно в Google

kiozk originals
Главной причиной расширения тропиков назвали нагрев субтропической зоны конвергенции Главной причиной расширения тропиков назвали нагрев субтропической зоны конвергенции

Ученые использовали 26 климатических моделей, чтобы прийти к такому выводу

N+1
Открыть в приложении