История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Топлес: самые интересные научные факты о женской груди Топлес: самые интересные научные факты о женской груди

Она сводит с ума, кормит и даже спасает жизнь

Популярная механика
9 мифов об Альберте Эйнштейне 9 мифов об Альберте Эйнштейне

Правда и мифы о создателе теории относительности

Вокруг света
Призрак бывшей: как жить, если ты – вторая жена Призрак бывшей: как жить, если ты – вторая жена

Если ты – вторая жена, то в браке постоянно будет присутствовать его бывшая

Cosmopolitan
Пот, кровь, слёзы и крест Пот, кровь, слёзы и крест

В конце XI века десятки тысяч людей отправились освобождать Иерусалим

Дилетант
Как избавиться от надоедливых групповых чатов и создать информативное сообщество в Viber Как избавиться от надоедливых групповых чатов и создать информативное сообщество в Viber

Вас тоже раздражают бестолковые открытки и старые мемы в групповых чатах?

CHIP
Бегство наследника Бегство наследника

Алексей Петрович так боялся отца, что в итоге сбежал за границу

Дилетант
Таинственные звезды и что они производят Таинственные звезды и что они производят

Элементы, которые появляются в результате смерти звезд

Популярная механика
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
На пике На пике

Как поддерживать максимальную эффективность без выгорания

kiozk originals
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Что мужчина должен делать по дому: 25 основных обязанностей Что мужчина должен делать по дому: 25 основных обязанностей

Советы по разделению рутинных работ по дому

Playboy
Занимательная критика Занимательная критика

Остатки древней цивилизации: встреча с настоящими минойцами на острове Крит

Вокруг света
«Там точно будет новый президент»: как участники списка Forbes реагируют на события в Белоруссии «Там точно будет новый президент»: как участники списка Forbes реагируют на события в Белоруссии

Forbes поговорил с предпринимателями, у которых есть бизнес-интересы в Беларуси

Forbes
Зимовье людей Зимовье людей

Как живут российские деревни и поселки, отрезанные от большой земли

Популярная механика
Китайский космоплан (или нет) вернулся на Землю через два дня после запуска Китайский космоплан (или нет) вернулся на Землю через два дня после запуска

Китайский многоразовый космический корабль совершил успешную посадку

N+1
Соусеп из тропиков Соусеп из тропиков

Поводом к написанию статьи послужила покупка зелёного чая с непривычным ароматом

Наука и жизнь
Почему мы подвержены аллергии Почему мы подвержены аллергии

Отрывок из книги Тима Спектора «Мифы о диетах»

СНОБ
Можно ли приручить землетрясение? Можно ли приручить землетрясение?

Что мы знаем о землетрясениях?

Наука и жизнь
Кто вы: сегментатор или интегратор? Кто вы: сегментатор или интегратор?

Разобраться в своем отношении к работе и выстроить баланс между работой и жизнью

Psychologies
Двойная спираль Двойная спираль

Открытие структуры ДНК

kiozk originals
Варвара-краса Варвара-краса

Звезда сериала «Чики» Варвара Шмыкова провела 2020‑й получше многих

Tatler
«Я многим пожертвовала, чтобы в 35 лет попасть в список Forbes». Екатерина Варнава — о том, как женщины отвоевывают свое место в юморе и жизни «Я многим пожертвовала, чтобы в 35 лет попасть в список Forbes». Екатерина Варнава — о том, как женщины отвоевывают свое место в юморе и жизни

Екатерина Варнава о том, почему женщине-миллионеру задают вопросы о личной жизни

Forbes
Чтение выходного дня: отрывок из резонансного романа «Американская грязь» о жизни мигрантов в эпоху Дональда Трампа Чтение выходного дня: отрывок из резонансного романа «Американская грязь» о жизни мигрантов в эпоху Дональда Трампа

Отрывок из книги о мигрантах, заставившей спорить всю Америку

Esquire
Питьевая вода Питьевая вода

История питьевой воды и способы сохранить ее запасы для будущих поколений

kiozk originals
Над пропастью во ржи Над пропастью во ржи

Уроженка Новочеркасска и жена Андрея Кончаловского Юлия Высоцкая

Tatler
Правила жизни Джонни Кэша Правила жизни Джонни Кэша

Правила жизни американского музыканта Джонни Кэша

Esquire
Как правильно обрабатывать и убирать кутикулу не хуже мастера маникюра Как правильно обрабатывать и убирать кутикулу не хуже мастера маникюра

Как ни крути, без ухоженной кутикулы красивый маникюр просто не возможен

Cosmopolitan
Чем закончились эксперименты с безусловным базовым доходом в пяти странах Чем закончились эксперименты с безусловным базовым доходом в пяти странах

Сколько человеку денег не дашь — всё равно потратит!

Maxim
С чистого холста С чистого холста

Интерьер для художницы, где может жить искусство

AD
Открыть в приложении