История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Сайгачьи будни Сайгачьи будни

В России можно наблюдать весь цикл жизни степной антилопы

Наука и жизнь
Почему я устаю? Почему я устаю?

В чем скрытые причины постоянной усталости?

Лиза
Кто вы, доктор Арендт? Кто вы, доктор Арендт?

Загадка, уходящая своими корнями в XIX столетие

Дилетант
Как побороть опухоль мозга и создать крупнейший инвестфонд в сфере выращивания морепродуктов Как побороть опухоль мозга и создать крупнейший инвестфонд в сфере выращивания морепродуктов

Сейчас в портфеле Эми Новогратц — 19 компаний, а на радаре — еще полторы тысячи

Forbes
Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции

Деятельность жуков-навозников имеет воистину планетарное значение

Наука и жизнь
Нарушение обмена веществ: почему растет вес и портится кожа Нарушение обмена веществ: почему растет вес и портится кожа

Как понять, что с обменом веществ начались проблемы, и что делать потом?

Cosmopolitan
Драгоценное зернышко Драгоценное зернышко

Золотодобыча в современных условиях

Популярная механика
На зарядку становись На зарядку становись

По России можно путешествовать на электромобиле уже сейчас

Robb Report
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
10 важнейших археологических находок 10 важнейших археологических находок

Археологи за XX век смогли выяснить, что происходило последние пять тысяч лет

Maxim
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Правила жизни Юрия Любимова Правила жизни Юрия Любимова

Режиссер, умер в возрасте 97 лет в Москве

Esquire
Почему взрываются звёзды? Почему взрываются звёзды?

На первый взгляд звёздное небо представляется неизменным многие века

Наука и жизнь
Аллергикам противопоказано: 7 неожиданных фактов о натуральной косметике Аллергикам противопоказано: 7 неожиданных фактов о натуральной косметике

Некоторым девушкам натуральная косметика и вовсе не нужна – мы расскажем почему

Cosmopolitan
Два маркиза Два маркиза

Медальон с портретами офицера и его брата в весьма фривольном виде

Дилетант
Как есть палочками: самый полный гид Как есть палочками: самый полный гид

Брось вызов гегемонии ножа и вилки на обеденном столе!

Maxim
«Жар-птица» Арктики «Жар-птица» Арктики

Самая редкая птица Арктики — розовая чайка

Наука и жизнь
Из-за отравления Навального может сорваться «Северный поток-2». Что это значит? Из-за отравления Навального может сорваться «Северный поток-2». Что это значит?

У «Газпрома» достаточно мощностей для перекачки газа и без «Северного потока-2»

Forbes
Виктор Цой. 1989 – 1990 Виктор Цой. 1989 – 1990

24 июня 1990 года группа «Кино» дает концерт на стадионе «Лужники»

Esquire
Не хочу идти в школу: три истории с комментариями Не хочу идти в школу: три истории с комментариями

Три ситуации, связанные с трудностями в школе

Psychologies
«Голодная степь: Голод, насилие и создание Советского Казахстана» «Голодная степь: Голод, насилие и создание Советского Казахстана»

Что мешало казахам перейти к оседлой жизни?

N+1
На искусственный интеллект выделят 36 миллиардов На искусственный интеллект выделят 36 миллиардов

В России принят еще один проект поддержки искусственного интеллекта

Эксперт
Взрослые в доме Взрослые в доме

Неравная борьба с европейским «глубинным государством»

kiozk originals
10 правил воспитания детей по Толстому 10 правил воспитания детей по Толстому

Как мы воспримем сегодня принципы воспитания и образования по Толстому?

Культура.РФ
Почему мужчине не хочется секса: список из 13 основных причин Почему мужчине не хочется секса: список из 13 основных причин

Подборка вероятных причин низкого либидо у мужчин или полного отсутствия желания

Playboy
За урожаем из глубин За урожаем из глубин

На разных верфях страны бум рыбопромыслового судостроения

Популярная механика
Мег Уэйт Клейтон: Последний поезд на Лондон Мег Уэйт Клейтон: Последний поезд на Лондон

Отрывок из нового романа Мег Уэйт Клейтон об отправке первого киндертранспорта

СНОБ
Ученые впервые клонировали лошадь Пржевальского Ученые впервые клонировали лошадь Пржевальского

В качестве генетического материала использовались замороженные клетки

N+1
Без обгоревшего носа: 5 процедур, которые сделают тебя богиней пляжа Без обгоревшего носа: 5 процедур, которые сделают тебя богиней пляжа

Сделай перед отпуском несколько процедур – и оставайся королевой 2 недели!

Cosmopolitan
Перинатальные андрогены спасли самцов мышей от аллергии Перинатальные андрогены спасли самцов мышей от аллергии

Мужчины оказались устойчивее к анафилаксии

N+1
Открыть в приложении