История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Сера: из отходов в материал будущего Сера: из отходов в материал будущего

В мире ежегодно производится почти 80 миллионов тонн серы

Наука и жизнь
Эффективный руководитель Эффективный руководитель

Книга, которая поможет повысить продуктивность работы

kiozk originals
Дядька императора Дядька императора

В Российской империи воспитание царских отпрысков было делом политическим

Дилетант
Историческая достоверность и детали со смыслом: как создавались костюмы в фильмах База Лурмана Историческая достоверность и детали со смыслом: как создавались костюмы в фильмах База Лурмана

Лучшие истории костюмов в картинах База Лурмана

Esquire
От чего умер Ленин? От чего умер Ленин?

На момент смерти Ленину было всего 53 года. На здоровье он никогда не жаловался

Дилетант
Не договорились… Не договорились…

К чему пришел спор славянофилов и западников в XXI веке

Огонёк
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Планета вирусов Планета вирусов

Бывают ли полезные вирусы и без чего они не могут существовать

kiozk originals
Время Кассиопеи. Осеннее небо Время Кассиопеи. Осеннее небо

Что можно наблюдать на звездном небе осенью

Наука и жизнь
«Есенин нового времени»: как 22-летний пианист из Самары покорил зумеров, подружился с Моргенштерном и объявил войну Sony «Есенин нового времени»: как 22-летний пианист из Самары покорил зумеров, подружился с Моргенштерном и объявил войну Sony

Новый кумир зумеров — Эдуард Шарлот

Forbes
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Возврат к корням: есть ли славянофилы в современном российском дизайне Возврат к корням: есть ли славянофилы в современном российском дизайне

Как дизайнеры и архитекторы стильно возвращаются к корням

Forbes
Клио на баррикадах Клио на баррикадах

Дискуссию о преподавании истории продолжает Леонид Кацва

Дилетант
Двери сознания Двери сознания

Где прячется человеческое «я»

Вокруг света
Свинцовые прелести Свинцовые прелести

«Вокруг света» отправился на родину богемского хрусталя

Вокруг света
Жрун вместо кормильца: как выгоды семейной жизни превращаются в потери Жрун вместо кормильца: как выгоды семейной жизни превращаются в потери

Почему жизнь с мужчиной может оказаться далеко не такой удобной, как нам обещают

Cosmopolitan
«Россия, собравшаяся в Крыму» «Россия, собравшаяся в Крыму»

В 1920 году в центре внимания Европы находились события Советско-польской войны

Дилетант
SpaceX запустит зонд для изучения гелиопаузы IMAP SpaceX запустит зонд для изучения гелиопаузы IMAP

IMAP будет наблюдать за потоками высокоэнергетических нейтральных атомов

N+1
Стереохимические фантазии Вант-Гоффа Стереохимические фантазии Вант-Гоффа

Ученые, которые первыми дали верное объяснение оптической изомерии

Наука и жизнь
Создатель Oculus Rift Палмер Лаки представил «умные» военные дроны — и пошёл против убеждений Кремниевой долины Создатель Oculus Rift Палмер Лаки представил «умные» военные дроны — и пошёл против убеждений Кремниевой долины

Палмер Лаки хочет объединить авантюрный дух Долины с оборонным бизнесом

VC.RU
Как ухаживать за кожаной обувью: 4 главных правила долговечности ботинок Как ухаживать за кожаной обувью: 4 главных правила долговечности ботинок

Как сделать так, чтобы пара кожаных ботинок оставалась как новенькая

Playboy
12 самых бредовых фильмов про Россию. В порядке нарастания градуса клюквы 12 самых бредовых фильмов про Россию. В порядке нарастания градуса клюквы

Водка, балалайка и медведи — не самые худшие стереотипы о России в Голливуде

Maxim
Кровь — не водица: когда родственные связи в тягость Кровь — не водица: когда родственные связи в тягость

Как решить проблему токсичного отношения со стороны родных людей?

Psychologies
Не работайте с мудаками Не работайте с мудаками

Что делать, если мудаки вокруг вас?

kiozk originals
Безглазые пескорои потеряли юго-запад Безглазые пескорои потеряли юго-запад

Эти грызуны практически слепые, но они ориентируются на магнитное поле

N+1
За урожаем из глубин За урожаем из глубин

На разных верфях страны бум рыбопромыслового судостроения

Популярная механика
11 самых странных концептуальных мотоциклов в истории: фото 11 самых странных концептуальных мотоциклов в истории: фото

Непрактичные или уникальные?

Популярная механика
Почему нам нравится смотреть на выдуманные апокалипсисы, когда миру угрожает реальный Почему нам нравится смотреть на выдуманные апокалипсисы, когда миру угрожает реальный

Отрывок из книги Дэвида Уоллеса-Уэллса «Необитаемая Земля»

Forbes
Спроси маму Спроси маму

Как общаться с клиентами и подтвердить правоту своей бизнес-идеи?

kiozk originals
Тельняшки, бикини и мини: как Брижит Бардо задала стиль Французской Ривьеры Тельняшки, бикини и мини: как Брижит Бардо задала стиль Французской Ривьеры

Топ стильных образов главной кинозвезды Франции

Esquire
Открыть в приложении