История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Бурлеск Самбурской Бурлеск Самбурской

Актриса, певица, дива, Самбурская, Настасья – все это о ней

Maxim
10 способов улучшить отношения с девушкой с помощью подсказок из фильмов 10 способов улучшить отношения с девушкой с помощью подсказок из фильмов

Сценарии романтичный подвигов от лучших голливудских режиссеров

Maxim
Какая-то трава вместо чая Какая-то трава вместо чая

Каркаде и ройбуш — конкуренты традиционного чая

Наука и жизнь
Мир по «Звездным войнам» Мир по «Звездным войнам»

Что «Звездные войны» могут рассказать нам о мире, в котором мы живем

kiozk originals
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Что эффективнее: работать быстрее или дольше? Что эффективнее: работать быстрее или дольше?

Вопрос тайм-менеджмента при нашей активной жизни всегда актуален

Psychologies
Подлинная история д’Артаньяна Подлинная история д’Артаньяна

Жизнь д’Артаньяна точно нельзя назвать скучной

Дилетант
Черепашата заинтересовались изображениями лиц Черепашата заинтересовались изображениями лиц

Почему черепашата ориентируются на лица?

N+1
Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции

Деятельность жуков-навозников имеет воистину планетарное значение

Наука и жизнь
7 фильмов о Франции 7 фильмов о Франции

Узнайте больше о молодых революционерах, прованских шато и французских классиках

GQ
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Одно спасительное имя Одно спасительное имя

Как называют лекарства?

Популярная механика
Ветви одного дерева Ветви одного дерева

Этот герой родился в джунглях, работает в Джакарте и рассказывает о об асматах

Вокруг света
Dior Dior

Коллекции Марии Грации Кьюри и Кима Джонса для Dior

Weekend
Строитель единой Руси? Строитель единой Руси?

Деспотическая вертикаль Батыя на века осталась в управлении Московского царства

Дилетант
7 вещей, которые нужно сделать в Сочи 7 вещей, которые нужно сделать в Сочи

Адлерский рынок, чайные плантации и еще 5 вещей, которые нужно увидеть в Сочи

Лиза
Между Молотовым и Риббентропом Между Молотовым и Риббентропом

Их объединило одно: подпись под документом, который стал прологом страшной войны

Дилетант
Не давите на больное Не давите на больное

Как помочь тинейджеру справиться с подростковым акне

Vogue
Соседи по винограднику Соседи по винограднику

Винные деревни Бароло и Барбареско

Вокруг света
Против гигантов: как Spotify удалось завоевать авторитет в мировой поп-культуре Против гигантов: как Spotify удалось завоевать авторитет в мировой поп-культуре

Отрывок из книги Свена Карлcсона и Юнаса Лейонхуфвуда об истории успеха Spotify

Forbes
Операция «Возмездие»: как три женщины убили палача Белоруссии Вильгельма Кубе Операция «Возмездие»: как три женщины убили палача Белоруссии Вильгельма Кубе

Мина для Вильгельма Кубе сработала 22 сентября 1943 года в 00.40

Maxim
Четвертая промышленная революция Четвертая промышленная революция

Новая трансформация технологии и промышленности

kiozk originals
Сила мифа Сила мифа

Что такое архетипы и почему некоторые фильмы и книги становятся популярными

kiozk originals
Одна вокруг света: рисовые поля и лаосские пионеры Одна вокруг света: рисовые поля и лаосские пионеры

89-я серия о кругосветном путешествии москвички Ирины Сидоренко и ее собаки

Forbes
18 ляпов, попавших на киноафиши 18 ляпов, попавших на киноафиши

Даже на афишах блокбастеров порой достаточно ошибок и ляпов

Maxim
SpaceX запустит зонд для изучения гелиопаузы IMAP SpaceX запустит зонд для изучения гелиопаузы IMAP

IMAP будет наблюдать за потоками высокоэнергетических нейтральных атомов

N+1
Зеркало для героя Зеркало для героя

«Американский жиголо» — фильм, ознаменовавший смену гендерных ролей

GQ
Рано сдулись: Калкин, Лохан и другие звезды, не выдержавшие испытание славой Рано сдулись: Калкин, Лохан и другие звезды, не выдержавшие испытание славой

Они были в зените славы, но их жизнь чаще всего была трагичной

Cosmopolitan
Ежедневный уход за новорожденным Ежедневный уход за новорожденным

Как правильно ухаживать за малышом?

9 месяцев
История унисекса: какие предметы одежды женщины «отняли» у мужчин и сделали своими История унисекса: какие предметы одежды женщины «отняли» у мужчин и сделали своими

Женский гардероб регулярно заимствовал предметы и элементы из мужского

Forbes
Открыть в приложении